A3 , A4 , An ,
S
极限的概念
二、数列 及其极限
1.数列的概念 整标函数： 定义域为全体正整数的函数 y f (n) 称为整标函数。 f (1) x1 , f (2) x2 , f (3) x3 , 数列： 按照自然数的顺序排列的一列数 x1 , x2 , xn , 简记为{ xn }, 其中xn称为数列 { xn }的通项 或者一般项.
1 1 1 1 1 (1). , , , , n ,; 2 4 8 16 2
(1)n1 1 (2)1, 0, 1, 0,, ; 2
(3) 1, 2, 3,n,
1 1 1 1 1 解：(1). x1 , x2 , x3 ,, xn n ,. { xn } { n } 2 4 8 2 2
y y 1 x
1
y x2 1
o
x
解
观察可知:
x0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1
x0
左极限
x 0
lim f ( x ) lim ( x 2 1) 1
x 0
x 0 x 0
右极限
因为 lim f ( x ) lim f ( x ) 1
极限的概念
3.2. 唯一性
性质2 每个收敛的数列只有一个极限.
3.3. 保号性
x n A, 且 A 0 ( A 0), 则N 0, 性质3 如果 lim n
当n N , 有xn 0 ( xn 0).
推论 如果数列 xn 从某项起有 xn 0 ( xn 0),

xn f (n)
13
n1 （n 1,2,3， ） 例如 (1) 、x n n 3 4 n1 ,} { xn } {2, , ,, 2 3 n
1 (2) 、xn (1)n（ n 1,2,3， ）
{ xn } {1,1,1,, (1)n ,}
任何实数在数轴上都对应唯一的一个点，因此数列在数轴上 对应一个点列。
极限的概念
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S .
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
极限的概念
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S .
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
f ( x ) 趋于常数A，则称 f ( x ) 在 x0 以A为右极限，记为
x x0
lim f ( x) A
27
函数的极限与左、右极限有如下关系：
定理 例
证
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A x x x x x x
0
0 0
( 2)
x1 2
单调减少数列
x4 x2
x3 x1
0
1
1
没有单调性
2、数列极限的概念
{ x n } 没有极限 当n , xn无不趋于任何固定常数
n1 研究数列 { }当 n 时 的 变 化 趋 势 . n x x x
3
有极限 当 n , x 无限接近于一个固定的 常数 n
极限的概念
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S .
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
极限的概念
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S .
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
极限的概念
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S .
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
极限的概念
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S .
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
极限不存在（发散）
3)1, 2, 3, 4,, n,; xn n
n ,
n

不趋于任何固定常数
极限不存在（发散）
20
极限的概念
3、收敛数列的性质 3.1. 有界性 性质1 收敛的数列必定有界.
注
一个数列有界未必收敛。
有界但不收敛
例如: {(1)n } 逆否命题
无界数列必定发散.
21
定义 设函数 f(x)在x0 的某去心邻域内有定义（x0可以除
外）,如果当x 趋近于x0 （但x不等于x0 ）时,函数 f(x)的函
数值无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数 f(x) 当
记为 lim f ( x) A 或 x→x0时的极限， xx
0
f ( x) A ( x x )
0
(
( 2)
x4 x2
1
x3 x1
0
1
极限的概念
类似于函数的有界性和单调性，可以定义数列的有界 性和单调性。 回忆： f ( x )在D上有界 M 0, 使得x D, 都有 f ( x) M
xn f (n)
数列的有界性 { xn }有界 M 0, 使得正整数 n, 都有xn M 例如 (1) 、x n n 1 n
f ( x) A 当x→+∞( x )时的极限，记为 xlim
( lim f ( x ) A )
x
(3)
x ，f ( x ) A. lim f ( x) A x x 30 x
但f ( x)在1点的去心邻域内有定义 ，
lim f ( x ) 2
x 1
结论：函数在一点无定义，但函数在该点的极 限可能存在。
25
例：根据极限的描述性定义，画图求极限。
(1) lim c c x 1
（c为常数）
( 2) lim x x0
x x0
有时我们只需考虑当x 从 x0 的一侧趋近于 x0时，


f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x0
极限的概念
1 x, x 0 例 设 f ( x) 2 x 1, x 0 f ( x), lim f ( x). 求 xlim 0 x0 并判断 lim f ( x )是否存在。
x 0
x n A, 那么 A 0 ( A 0). 且 lim n
22
极限的概念
三、 函数的极限
对于数列,即整标函数 xn f ( n), 其自变量的变化只有一种情形. 而对于一般函数 y f ( x ) 来说,有:
函数在无穷远点的极限 函数在一点的极限
23
1 当x→x0时,函数f (x)的极限
则称 { xn }是单调增加数列。 如果x1 x2 x3 xn xn1 则称 { xn }是单调减少数列。
单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。 n1 在数轴上，单调数列的项只向一个方向移动 例如 (1) 、x n n
x3 x2
1 0 (2) 、xn (1)n1
注: 1. x x0称为极限过程， x与x0充分接近，但 x x0
2. f ( x)在x0的某去心邻域内有定义 。f ( x)在x0
点可以没有定义。
好处：可以使极限应用 范围更广。
极限的概念
x2 1 考查函数 f ( x ) x 1
x2 1 f ( x) 在x 1处无定义， x 1
注 定理常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在
x 验证 lim 不存在. x 0 x
y
x x0 x x 1 . x x 1 x 0 x
1
o
1
x
x x 右极限 : lim lim 1 1 lim ( 1 ) 1 左极限 : lim x 0 x 0 x x0 x 0 x
0
在数轴上，有界数列 { xn }的所有项都落在某个闭 区间 [ M , M ]上。
x3 x2
1
( 2)
(2) 、xn (1)n1 x4 x2
1
x1 2
有界数列
x3 x1
0
1
有界数列
15
数列{ xn } {2n } 无界.
设有数列 { xn }, 如果 数列的单调性：
x1 x2 x3 xn xn1

0
x3 x 2
1 8
1 4
x1
1 2
确定常数
1
n ,
1 0 n 2

1 极限存在 lim n 0 n 2
结论：公比绝对值小于1的等比数列极限为0。
即： lim q n 0 ( q 1)
n
19
极限的概念
( 2)1,
0,
1,
0,;
n , xn
该数列在数 0与1之间摆动 , 不能趋于一个确定的数 ,
lim x n A, 或 xn A(n ). n
若当n无限增大时， xn不趋于任何固定常数， 则称
{ xn }没有极限或者称数列 { xn }发散。
这里n 称为极限过程。 n1 lim 1 由定义不难看出： n n
1 lim 0 n n
极限的概念
观察变化趋势 , 并写出收敛数列的极限
第二节 极限的概念、无穷小与无穷大(上）