o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
1 )
6
物理学
第五版
谐运动分析(三)
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
y
1 )
（1）2 1 0或 2π
y A2 x A1
（已知铅球密度为 2.65103 kg m3，20C 时空气的粘度 1.78105 Pa s ）
23
物理学
第五版
第五版
d2 x dx m C kx 0
dt 2 dt
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
0
谐运动分析(三)
固有角频率
k
0
m
C 2m
x Aet cos(t )
振幅
角频率
阻尼系数
2 2 0
T 2π 2π
2 2 0
20
物理学
第五版
谐运动分析(三)
x Aet cos(t )
2 2 0
谐运动分析(三)
用旋转矢量描绘振动合成图
9
物理学
第五版
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
谐运动分析(三)
10
物理学
谐运动分析(三)
第五版
*三 多个同方向同频率简谐运动的合成
x1
A1
cos(t
1
)
x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
物理学
第五版
谐运动分析(三)
两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与
两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
A1
O x2 x1 x
两振动的位相差 2 1 =常数
1
物理学
第五版
谐运动分析(三)
x A cos(t )
A
A2 1
2
A
A2
o
x
A1
1
x2 x1
x
振动圆频率
1t 2t 2 1
cost
x 1
x 2
1
2
A
2
18
物理学
第五版
一 阻尼振动
谐运动分析(三)
现象：振幅随时间减小
原因：阻尼
阻力系数
动力学分析： 阻尼力 Fr Cv
kx Cv ma
d2 x dx m C kx 0
dt 2 dt
19
物理学
1
2
2
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
振幅
A 2A cos2 π 2 1 t
1
2
Amax 2A1 Amin 0
15
物理学
第五版
谐运动分析(三)
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
2π2 1 T π
2
2
1
T 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
A2 2
2A1 A2
cos(2
1
)
x x1 x2
A
x tan
A1
sin
1
A2
sin2
A1 cos1 A2 cos2
A2
2
1
A1
O x2 x1 x
两个同方向同频率简谐运动合成后仍
为同频率的简谐运动
2
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（1）相位差
2
1
2k π
(k
0，1， 2,
)
x
x
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
x x1 x2
讨论
A1 A2
, 2 1
1
2
的情况
14
物理学
第五版
谐运动分析(三)
方法一
x x1 x2 A1 cos2 π1t A2 cos2 π2t
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
N
0
(1) 2kπ
讨 (k 0,1,2, )
论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2, )
i
A4 A5
O A6
A0
A3
A2
A1
x
12
物理学
第五版
四
的合成
谐运动分析(三)
两个同方向不同频率简谐运动
13
物理学
第五版
谐运动分析(三)
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
（2）2
1
π
A y 2 x
A 1
A2 A1
ox
y
A2
o A1 x
7
物理学
第五版
谐运动分析(三)
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
1 )
（3）2
1
π
2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A
cost
cos(t
π
)
2
2
y
A2
o A1 x
8
物理学
第五版
16
物理学
第五版
方法二：旋转矢量合成法
谐运动分析(三)
(2 1)t (2 1)
2t 2
2 A2
1t 1 o
x2
A
1
A1
x1
2 1
x
x
1 2 0
2 π(2 1)t
17
物理学
第五版
谐运动分析(三)
振幅 A A 2(1 cos) 1
2A cos( 2 1 t)
1
2
拍频
2
1
(2 1)t
x Acos(t )
A

A3
3
A2
2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为
简谐运动
11
物理学
谐运动分析(三)
第五版
x A cost
1
0
x A cos(t )
2
0
x3
A0cos(t
2
)
A
o
A1 A2
A3
A4
A5
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]