a
式中： f , a,b 为内积； ( t b ) 与 (

t b ) a
dadb a 2 (5.103)
是共轭，且
(5.104)
c

2 1 | ( ) | | | d
定义三： 在实际应用中，常用其离散形式，若令 a 2 j , b 2 j.i 则(5.101)式为二进制小波，可以表达为：
设函数ƒ(z)以z
=α为n级极点，则
当n=1时，就有 特别地，当式中φ(z)和ψ(z)都在
z=α处解析， ψ(z)以z =α为一级零点，φ(α)≠0，则
微层划分
反演问题的关键：将实测的 C ( ) 展成上面所示的连分 式形式。 微层划分原则：可以近似的把每层中的 E(, z) 和 E(, z) 看为随深度变化的线性函数。 则对K层有：E(, zk 1 ) E(, zk ) ( zk 1 zk )E(, zk ) E(, zk 1 ) E(, zk ) i0 k E(, zk ) 由一维介质中电磁波满足Helmholtz方程知：
主要内容
9.1尺度 尺度与分辨率 多尺度反演过程 9.2小波与尺度分析 小波与二进制小波 多尺度分析 9.3多尺度反演法 三个基本算子 三种实现方法
9.1 尺度
尺度：当我们以离散方式描述某一空间或时 间的函数时，均匀离散点之间的距离。 分辨率：单位距离内离散点的个数。 尺度越大，分辨率越低；尺度越小，分辨率越高。
C ( ) h1
1 i0 1 1 h2 1 i0 2 1 hM 1 1 i0 M 1
当 M
0
C ( ) h1
1 i0 1 1 h2 1 i0 2 1 hM 1
步
骤： 1 建立实测大地响应函数 C ( )
多尺度分解方法原理：数学显微镜，逐层求解 符号表达： Vj Wj 设光滑部分近似属于 空间，细节部分近似属 于 空间，若在基于上，则两空间正交互补。 (5.109)
Vj-1 =Vj Wj Vj+1 Wj+1 Wj
示意图：如右
9.3 多尺度反演法
反演基本算子操作过程： 第一个算子：反演问题分解（从小到大）为各尺度上的反 问题。 第二个算子：求取各尺度上反问题的解。 第三个算子：将稍大尺度上的解嵌入稍小尺度，并作为其 反问题求解的起始点。
带入上式得到： E(, zk 1 ) E(, zk ) i0 k E(, zk )
E(, zk ) i0 ( z) E(, zk )
连分式模型
根据定义： 假设 E(, zk ) E(, zk 1 ) 将上式代入有： Ck 1 ( ) hk
1 i0 1 1 h2 1 i0 2 1 h3
半纯函数

半纯函数是一种复变函数--即自变量和因变量都取 值复数， 也称亚纯函数。 半纯函数在定义域中的某些 点上没有定义，我们称这些点为极点。 函数在这些极 点附近的幂级数展开可写为(以单变量为例)罗朗展开式： f(z)=c_m/（z-a)^m+...+c_2/(z-a)^2+c_1/(z-a)+ c_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+......, 这里c_i和a_j都是常系 数， z=a是极点。 全纯函数是最简单的半纯函数，也称解析函数， 就是说它没有任何极点。 根据刘维尔定理，在紧致流 形上， 全纯函数只能是常值函数。 任何有理函数（即通过多项式加减乘除得到的函数） 都是半纯函数。
(5.106)
若设：
D2 j
i
f ,


ji
ji (t )
(5.107)
则分解等式可以写成：
f (t )
n
D
2n

n j 1 n

D2n
n j
D

2n
(5.108)
(5.108)第一项大尺度对应平滑部分，第二项小尺度对 应细节部分。 基于(5.108)式的分析方法称为尺度分析方法。
2 f ( t ) L ( R) 的函数，有 定义二：对于任一
Wf (a, b) f , a ,b | a |

1 2


t b f (t ) ( )dt a
(5.102)
为其小波变换。 其逆变换为
1 f (t ) c



Wf (a, b)a ,b (t )

留数(又称残数residue ) ，复变函数论中一个重要的概 念。解析函数 ƒ(z)在孤立奇点z =α处的洛朗展开式 (见 洛朗级数)中，(z－α)-1项的系数с-1称为ƒ(z)在z =α处的 留数,记作或Resƒ(α)。它等于，式中Г是以α为中心的充 分小的圆周。 留数的概念最早由 A.-L.柯西于1825年提出。由于 对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项(z-α)-1,因 此称为留数。它在很多问题上都有重要应用，如定积分 计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为 部分分式,将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近 估计等。
多尺度反演过程示意图：
Df ( f ) 大尺度（总体背景）全局极小 D f 1 ( f ) D f 2 ( f ) Pj 1 f 中尺度（背景）全局极小 Pj f D ( f ) P f f k j 1 Pj 2 f 小尺度（背景）全局极小 Pj k f
多尺度分解反演实现方法： 设地球物理线性反演问题的数据方程为： 第一种方法
M N N 1
G m= d
M 1
WGm Wd
第二种方法
Wd WGW Wm (W (WG) ) Wm
T T T
第三种方法
d GW Wm (WG ) Wm
T T T
加密插值：大尺度上的解作用于小尺度模型时，解的样点要进行加 密，主要方法有样点复制或线性插值法。
反演过程分析
采样点数 M 2 j，对应于尺度 2 j 。 当 j 1 时 ，M 2 ，为 反演2个数据（此时可以用线性反 演方法）的初始模型， G 为 2 N 阶。 当 j 2 时 ， 反演4个数据的初始模型， G 为 4 N 阶。 当 j 3 时 ， 反演8个数据的初始模型， G 为 8 N 阶。 以此类推: 直至最小的尺度，即最大采样率是的反演问题，这是 问题的解为最终解 。这里 N 为模型参数个数。
j 2 ( j Z ) ，则所对应的尺度为 2 j。 若分辨率为
优点
大尺度 （低波数）
缺点
分得散，搜索极值 极值点少，“全局 点容易 极小点”不一定是 真正全局极小点
小尺度 （大波数）
极值点多，全局极 无上一尺度的搜索 小点离真正全局极 结果指导则直接搜 小点较近 索较困难
多尺度反演：是把目标函数分解成不同尺度的分量，根 据不同尺度上目标函数的特征逐步搜索全局极小。 反演过程：根据上一级搜索到的背景“全局极小点”为起 点，在其附近搜索下一级尺度的“全局极小点”；不 断迭代缩小尺度至原始尺度，提高分辨率，找到真 正全局极小点。 优点：反演稳定，反演结果不受初始模型的影响；反 演不受局部极小困扰，收敛速度加快。
ij (t ) 2 j /2 (2 j t i)
(5.105)
二进制小波构成 L2 (R) 的一个正交基，利用 ij 可以 将在无穷大处衰减得充分快的任意函数 f (t ) 分解为：
f (t )
j i
f ,


ji
ji (t )
(i, j ) Z
2 利用最小方差原理求得其部分分式
an C ( j ) (a0 ) j 1 n 1 n i
M k 2
（或者求C(j ) 之极点和函数）
3 将部分分式展开成连分式，求得各微层厚度和电导率
精品课件！
精品课件！
谢
谢
响应函数
响应函数—阻抗 定义为：
Z ( ) E ( ) H ( )
E ( ) 1 Z ( ) E( ) i0
或导出： 为一半纯型函数 所以有部分分式结构： 写其成连分式为：
C ( )
C ( ) a0
an n 1 n i
k
C ( ) h1
连续小波 a,b (t ) 是基于仿射群
(
at b
，通过母小
t b ) 变换而得。 其表达式为： 波 a 1 t b 2 a ,b (t ) | a | ( ) a
(5.101)
b
a , b 的含义如下
a 尺度伸缩变量
|a|
1 2
位置平移变量 物理空间的实际位置
是归一化因子
Ck 1 ( ) C (, zk 1 ) E (, zk 1 ) E ( , zk 1 )
1 1 Ck ( )
i0 k
可以得到如下连分式：
C ( ) h1 1 i0 1 1 h2 1 1 i0 2 CM ( )
当 M
最小尺度（原始尺度）总体极小
9.2 小波与多尺度分析
小波产生的背景： 常规傅氏变换不能提取频域的局部特征，窗口傅氏变换 实现了时域局部化，但一旦函数 g(t-b) 选定，不能满足 高频和低频信号对窗口大小的不同要求。 定义一：称满足条件 2 1 | ( ) | | | d (5.100) 的函数 (t ) L2 ( R) 为小波函数或母小波。 式中 ( ) 是 (t ) 的傅氏变换。
反演对比结果分析
MSI和GI反演的比较
理论模型
理论 模型1
初始模型
初始 模型1 初始 模型2 初始 模型3
方法