其中 k 是合适的常数
q (d f (m)) (d f (m)) d f (m)
T
2
因此
q f (m) 2(d f (m)) 2 AT (d f (m)) m m
而参数校正可由下式给出
x k (2 AT (d f (m)) 2kAT (d f (m)) [2k ] AT y
或简写为 d 0 f (m 0 )
一、模型和线性化
假定 f (m) 在 m 0 附近是线性的， 从而关于 m 0 的模型响应的微小摄动可以用 Taylor 定 理来表示：
0 0 f (m) f i (m1 m1 , m2 m2 ,, m 0 p m p )
f i (m 0 )
式中,用 2k 取代了 ( A
T
A) 1 ,不含有任何逆矩阵,如果 k 足够小,这种方
法不至于发散,这是本方法相对于 Gauss-Newton 法的一个优点.
第三节、无约束非线性反演
最速下降法的不足 最速下降法的主要缺点是,当采用最小平方解法时,其 收敛速度将下降 . 通常效率不高 , 需要较多迭代次数 , 因此不宜在实际反演中应用.
f i f f m1 i m2 i m p 高次项 m1 m2 m p
一、模型和线性化
简单形式
p f ( m 0 ) j 0 f ( m ) f ( m ) j 1 m j
2 m j O ( m ) m m0
非线性反演问题
• 第一节、非线性的特性
• 第二节、处理非线性问题的一般策略
• 第三节、无约束非线性反演
• 第四节、约束非线性反演
第二节 处理非线性问题的一般策略
非线性问题可以采用最小平方法求取连续近似来解 决。将函数 f (m) 以 Taylor 级数形式在模型参数可能 取值初始估算值进行展开， 可将非线性问题转换为近 似线性问题，这时地球物理反演中采用的标准策略。
ti
j 1
p
Lij vj
Lij C j
j 1
p
式中，t i 是第 i 条射线的总旅行时，Lij 第 是第 此我们不得不采用慢度 C 来取代。
j 层中第 i 条射线路径。v j
j 层的速度。模型参数和旅行时数据成反比而不是线性关系。应
第一节 非线性的特性
提出某一特定的方式有时要确定该问题是作为线性 问题还是作为非线性问题。给定一些非线性问题，而 这些非线性问题又不服从简单的线性变换， 那么能否 用通用方法解决此类问题， 使得我们可以采用一些人 所共知的线性反演方法来估算未知模型参数并最终 求得问题的解？我们很快将会见到， 通过基础微积分 知识，上述问题可以得到部分解决。
1
一、问题的公式化
m 0 1, f ' (m 0 ) 4m 3 1
因此
m1 1 (
2
f (1) 1 ) 1 1 0.3333 1.3333 ' 3 f (1)
f (1.3333 (1.3333) 4 (1.3333) 1 m 1.3333 f ' (1.3333) 1.3333 4(1.3333) 3 1 1.3333 0.0973 1.236 解不足够好，因为 m 中的小数点后第二位人仍然非零，因此进行下一轮迭代 f (1.236) 3 m 1.236 f ' (1.236) 1.236 0.0141 1.2214
观测数据 d 一般均有观测误差，考虑 d 和 m 之间的关系时，亦应考虑 附加噪声 e，因此在实际情况下，我们有
d f (m) e
我们需尽可能将误差降至最小，我们有
0 p f ( m ) 0 i d f (m) d f (m ) j 1 m j
m j mm0
小数点后第二位仍有变化，进行下一轮迭代 我们有 m
f (1.2214 ) 0.006 ' f (1.2214 )
m 中小数点第二位为 0，因此，期望解为 1.22
二、Gauss-Newton 法的局限性
考虑上述算法推导过程中的假设和近似,自然会提出这样的问题:这种 非约束迭代算法是否总能够解决我们的非线性问题 ?这个方法的主要 缺点是,为使运算收敛,需要对实际模型有一个较好的近似(好的初始条 件),而且矩阵 A 当A
J ( m) F ( m) d
2
G ( m) h
2
(5.4.2)
第四节、约束非线性反演
将 F (m) 在 m k 点进行 Taylor 展开，并略去高阶项有：
F (m) F (mk ) F (mk )(m mk ) G(m) G(m k ) G(m k )(m m k )
T T
A 可是奇异的或近似奇异的,从而产生非期望的结果,
0)时,就会产生错误,计算的解就会
T
A 病态(特征值很小或近似于
大的令人难以置信.在实际中,即使 A 的或收敛缓慢的.
A 是非奇异的,其解仍会是发散
三、最速下降法(梯度法)
起始模型仅在目标函数 Q 的负梯度方向予以校正,即
q x k m
• 研究生课程
非线性反问题
中国石油大学
2012年12月
非线性反演问题
• 第一节、非线性的特性
• 第二节、处理非线性问题的一般策略
• 第三节、无约束非线性反演
• 第四节、约束非线性反演
第一节 非线性的特性
在大多数我们所感兴趣的地球物理反演问题中，数据和模型参数是非 线性相关的（即不能以简明的 d Gm 来表示） 。我们回忆前面讨论 的简单折射波延迟时间问题，其实际都是非线性的。应为地震波通过 层状介质中的传播路径与该层中的路径长度成正比，而和传播速度成 反比，即
x y 图表表明，曲线在 m 1 和 m 2 之间有 f (m) 0 ，而在 0
和-1 之间，与 m 或（x 轴）相交。现在，假定我们知道在 m m 附
0
近有一解存在，那样，将
f (m) 对 m 0 展开，给出
一、问题的公式化
0 f ( m ) 2 0 0 f (m) f (m m) f (m ) m O( m ) m 0 f ( m ) 0 f (m ) m m
一、模型和线性化
简单地称之为 m 0 。 m 0 亦可称为初始估计、起 始模型或初始模型。 这个初始模型可以基于先 验信息或明智的估计， 以及经常求取最终解时 成功和失败之间的差异， 或收敛与最终解的收 敛速度快慢的差异。从正演理论可知，模型参 数 p 相对于 m 0 的理论响应为
0 0 0 d i f i (m1 , m2 , m3 , m 0 p)
q eT e (d f (m))T (d f (m))
利用前述结果，我们将求极小问题改写为
q eT e ( y Ax )T ( y Ax )
一、问题的公式化
问题的解法：Gauss-Newton 法 如在线性情况下一样，求极小是将 q 对每一期望参数的摄动 x j 的微 分置 0 即
第一节 非线性的特性
这类非线性问题的一般形式为 d i f i (m1 , m2 ,, m p ) f i (m) i=1，n 这时 f 是正向函数， 其允许我们对一组给定的模型参 数 m 计算其理论响应。 我们的双重目标是首先将其形 式简化， 是我们可以采用数据拟合和线性问题中通常 采用的模型参数估算方法进行处理， 从而找出近似而 有意义的解决此类问题的办法。 上述策略的第一部分 称为线性化，第二部分称为模式识别和评价。
q ( yT y xT AT y yT Ax xT AT Ax） 0 x j x j
化简得：
2 AT Ax 2 AT y 0
由此，我们可以求得对参数摄动的最小平方解
x ( AT A) 1 AT y
一、问题的公式化
将摄动 x m 应用于我们的起始模型 m ，从而产生对问题解的更
0
好估计
m1 m0 x
但是， 新模型 m 可能仍然不能很好的和数据吻合， 因此需要以 m 作 为新的起始模型并重复整个过程，这个方法的逐次使用可以称为无约 束迭代最小平方拟合或（Gauss-Newton 法） 迭代公式如下时所示
1 1
m k 1 m k ( AT A) 1 AT y
一、模型和线性化
定义矢量 y 之差，并将
d f (m 0 ) 以表示野外实际数据和初始模型所求数据
f i
m 记为 x，这样，我们可将方程改写为 m j 记为 A，
d f (m) y Ax
而
e y Ax y, A, x 分 f
对每个模型
现在，方程是我们所期望的线性析形式，当然，这需要以 别与线性问题中的 d , G, m 相比拟为前提。 其中，A 是 小应为 n
第三节、无约束非线性反演
对非稳定性和非收敛性的补救办法 当 A A 是病态时 ,为防止无界解的增大 ,Levenberg(1944) 提出 了一种阻尼最小平方的方法,该方法可在 Taylor 近似逐次应用 过程中,阻滞参数摄动的绝对值. Levenberg 建议,应在 A A 的 主对角线上加一个随意选取的正的权因子,并且要显示出当权 因子相等时 , q 的剩余和方向导数为最小 . 这种方法以后为 Marquardt 用来开发一种非常有用的非线性算法 ,该技术称为 岭回归方法 , 是地球物理领域最常见的一种反演算法 . 就其本 质来讲,实际上是 Gauss-Newton 法和最速下降法之间的内插, 一种成功的结合二者有用特性的混合技术.
参数 m j 的偏微分矩阵，当试验 n 个数据、p 个模型参数时，矩阵大