面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
➢ 分布力：连续分布在表面某一范围内 ➢ 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
主子式皆大于0
二次型的微商
n
f (x1, x2 ,L , xn ) xT Ax aij xi x j i, j1
f
x
f
x1
f
x2
M
f
2 2
n
a1i xi
i 1
n
a2i xi
i 1
M
n
2
a11
a21
M
an1
a12 L a1n x1
两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示， 称为剪应变，用γ表示。
du
dL
dL dL+du
与应力的定义类似，物体内任意一点的变 形，可以用六个应变分量表示：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
或
1、2、3、12、 23、 31
指标记法和求和约定
自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标， 如σij ,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维 问题中， i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐 标系三个坐标轴x,y,z对应。
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1
F2
Q
lim S
A0 A
N A
N sin sin A
N sin cos
A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
a22 L M an2 L
a2n M ann
Mx2 xnຫໍສະໝຸດ 2 Axxn 2 i1 ani xi
x
对向量x各元素的偏导数
2.2 弹性力学基础
关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 指标记法和求和约定 张量及Voigt标记 平面问题基本方程及边界条件 三维问题基本方程及边界条件
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表 示应力的作用方向。
正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用 一个下标。
应力分量的方向定义 ：
➢ 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；
➢ 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。
剪应力互等 xy yx , yz zy , zx xz
物体内任意一点的应力状态可以用六个独 立的应力分量来表示
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
或
1、 2、 3、12、 23、31
应变
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。
各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表 示。
矩阵行列式
或
奇异矩阵(方阵)
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵
矩阵的微分和积分
正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 L 2a1n x1xn a22 x22 2a23x2 x3 L 2a2n x2 xn
五个基本假定
连续性：无空隙，能用连续函数描述 均匀性：各个位置物质特性相同 各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相
同特性 线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去
除后，物体可恢复原状 小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基
本方程时可以忽略高阶小量。
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。
A: 对称矩阵
正定二次型：设 f (x1, x2 ,L , xn ) xT Ax 为实二次型，如果对于 任意的非零实向量X，都有 f xT Ax 0 A: 正定矩阵
关于正定矩阵
正定矩阵是特殊的对称实矩阵 正定矩阵的对角元aii>0 正定矩阵的行列式|A|>0 A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序
an1xn x1 an2 xn x2 an3xn x3 L ann xn2
利用矩阵及其运算，二次型可表示为
f (x1, x2 ,L , xn ) [x1 x2 L xT Ax
a11 a12 L a1n x1
xn
]
a21 M
an1
a22 L M an2 L
a2
n
M
ann
Mx2 xn
2.1 矩阵算法
线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
线性方程组的表示
求解方法：高斯消元法、迭代法
行向量和列向量
矩阵加、减、乘法运算
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
L L L L L L L L L
若取 a ji aij 则
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12
ann xn2 a12 x1x2 a13x1x3 L a1n x1xn
a21x2 x1 a22 x22 a23x2 x3 L a2n x2 xn
L L L L L L L L L L L L L L L
重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复 出现的下标，如aijxj=bi ，j为哑指标。
求和约定：哑指标意味着求和。
爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连续 介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化,有 着十分重要的作用。
关于弹性力学
弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作 用下内力和变形分布规律的一门学科。
力学学科 中学力学 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学
力学学科各分支的关系
研究对象 质点
质点系及刚体 简单变形体(构件) 数量众多的简单变形体
任意变形体 任意变形体
特征 无变形 无变形 小变形 小变形 小变形 任意变形