x y z x y z
二、弹性力学中的能量表述
2. 弹性力学中的应变能(strain energy)
怎么 求？
设加载缓慢，系统功能可忽略，同时略去其它能量（如热 能等）的消耗，则所做的功全部以应变能的形式储存于内部。 对应于微元体的两种变形：线应变和切应变，亦有两种形 式的应变能： Part 1：对应于正应力与正应变的应变能
x z y
T
w (x,y,z) dz v dx u
Sp
dy
Ω
Su
一、弹性力学的边界条件
1、位移边界条件
T 边界上已知位移时，应建 立物体边界上点的位移与 给定位移相等的条件
w (x,y,z) dz v dx u dy
Sp
u u v v w w
on Su
z y x
Ω
Su
一、弹性力学的边界条件
上节回顾
应力张量 （stress tensor）
x xy xz y yz yx zx zy z
弹性力学基本变量
应变张量 （strain tensor）
w (x,y,z) dz v dx u dy
上节回顾
x
dx
x
du x dx
应变能密度的性质
U0 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx 2 1 1 2 2 2 2 2 2 U 0 ij x y z x y y z z x xy yz zx 2E E 2G 1 2 2 2 2 2 2 2 U 0 ij e 2 G G x y z xy yz zx 2
Part 2：对应于切应力与切应变的应变能
Part 1：对应于正应力与正应变的应变能
微元体的变形能：
整个物体Ω上σx，εx 所产生的变形能：
Part 2：对应于剪应力与剪应变的应变能
微元体的 变形能：
整个物体Ω上τxy，γxy 所产生的变形能：
二、弹性力学中的能量表述
2. 弹性力学中的应变能(strain energy)
nx 0 0
0 ny 0
0 0 nz
ny nx 0
0 nz ny
n p
on S p
二、弹性力学中的能量表述
功能原理的两个基本概念：
功（work）：外力功； 能量（energy）：如动能、势能、热能等 弹性问题中的功和能量： 外力功：施加外力在可能位移上所做的功
应变能：变形体由于变形而储存的能量
2、力的边界条件
边界上给定面力时，则物体边界上的应 力应满足与面力相平衡的力的平衡条件
X 0
以二维问题为例
Hale Waihona Puke 注意ds为边界斜边的长度，边界外法 线n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds
有：
一、弹性力学的边界条件
以二维问题为例
同理：
Y 0
M 0
一、弹性力学的边界条件
以二维问题为例
0 y 0
0 0 z
0 z y
A：微分算子
A b 0
A L
T
上节回顾
物理方程
1 x x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E
由叠加原理，将所有方向正应力正应变、剪应力剪应变所产生的 变形能叠加
应变能密度
U0 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx 2 1 1 2 2 2 2 2 2 U 0 ij x y z x y y z z x xy yz zx 2E E 2G 1 2 2 2 2 2 2 2 U 0 ij e 2 G G x y z xy yz zx 2
二维情形的力的边界条件
nx 0
0 ny
x ny px y nx py xy
其中：nx＝l；ny＝m
一、弹性力学的边界条件
扩展到三维情形的力的边界条件
x nz y px z 0 py xy nx pz yz zx
二、弹性力学中的能量表述
1. 弹性力学中的外力功（work by force）
弹性力学中的外力包括：面力和体力，故外力功包括： Part 1：面力pi在对应位移上ui上的功（on Sp） Part 2：体力bi在对应位移上ui上的功（in Ω）
外力总功为：
W
Sp
p u p v p w dS b u b v b w d
L：微分算子
Lu
上节回顾
平 衡 方 程
弹性力学基本方程
yx x zx bx 0 x y z xy y zy by 0 x y z yz xz z bz 0 x y z
x 0 0 y x 0 x z y bx 0 z by 0 yx b z zy x xz
基本方程组，普遍规律
（2）在物体边界：应力分量、应变分量和位移分量满足：
位移边界条件 力的边界条件
定解条件，特定规律。
每一个具体 问题反映在 各自的边界 条件上
三、弹性力学边值问题
弹性力学边值问题提法：
求u，σ，ε，满足：
A b 0 Lu D
u u v v w w
dz v dx dy
位移（displacement） 是指位置的移动。它 在 x, y 和 z 轴上的投 影用 u, v 和w。
z
u
Ω
y x
Su
弹性力学基本变量
T
w
上节回顾
微元体
( Representative volume )
(x,y,z)
dz v dx u dy
Sp
Ω
z
y x
Su
弹性力学基本变量
fx
fy
FN
FS
关于弹性力学解的唯一性的讨论 ——圣维南原理
有限元分析
Finite Element Analysis
李建宇
天津科技大学
内容 弹性力学基础知识 2
1. 边界条件 2. 弹性力学中的能量表示 3. 弹性力学边值问题
要求 理解： 弹性力学边界条件的提法 了解： 弹性力学边值问题的内涵 掌握： 弹性力学中的能量表述
课后作业 继续检索、阅读弹性力学基本文献
1
1
1 1
1 0 0 0
0 0 0 1 2 2 1 0 0
0 0 0 0 1 2 2 1 0
1
0 0 0
xy yz zx
xy
G
yz
G
0 x 0 y z 0 xy yz 0 zx 1 2 2 1 0
zx
G
D：弹性矩阵
D
上节回顾
弹性力学三大方程
弹性力学基本方程
T
w (x,y,z) dz v dx dy
A b 0 Lu D
z
Sp
u
Ω
in
x
y
Su
边界上呢？
一、弹性力学的边界条件 (Boundary condition)
两类边界条件： Sp：力的边界
Su：位移边界
圣维南原理：
如作用在弹性体表面某一 不大的局部面积上的力系， 为作用在同一局部面积上 的另一静力等效力系所代 替，则荷载的这种重新分 布只在力荷载作用处很近 的地方才是应力的分布发 生显著变化，在离荷载较 远处只有极小的影响。
关于弹性力学解的唯一性的讨论 ——圣维南原理
圣维南原理的应用：可将边界条件简化, 将不容易积分的方程变成近似 的容易积分的边界条件方程.
u +du
u
x yx zx
xy xz y yz zy z
α
γ=α+β
τ
β
上节回顾
位 应 应 移
弹性力学的基本方程
几何方程
变 力 物理方程 弹性力学 三大方程
平衡方程
上节回顾
几 何 方 程
u x x v y y w z z u v xy y x v w yz z y w u zx x z
上节回顾
弹性力学的 “三个基本”
1、基本假定
2、基本变量 3、基本方程
上节回顾
弹性力学的基本假定
五个基本假定： 1、连续性(Continuity) 2、线弹性(Linear elastic) 3、均匀性(Homogeneity) 4、各向同性(Isotropy) 5、小变形假定(Small deformation)
上节回顾
弹性力学基本变量
变形体的描述：
在外部力和约束作用下的变形体
位移的描述 形状改变的描述
力的描述
材料的描述
上节回顾
弹性力学基本变量
描述变形体的三类变量：
位 应 应 移 变 力 物体变形后的位置 物体的变形程度
物体的受力状态
物体的材料特性
材料参数
弹性力学基本变量
w (x,y,z)