常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词： 全微分方程，积分因子。

一、 基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1.2） 证明见参考文献[1].定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子.定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xy x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1.4）证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：x y x y x N ∂∂),(),(μ-y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N yy x M μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂. 上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。

所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。

为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。

一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。

二、特殊形式的积分因子的求法情况1 当),(y x μ具有形式)(x μ时，方程（1.4）化为dxx d y x N )(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),(， 即dx x d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 于是得到：定理2.1 微分方程（1.1）具有形如)(x μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 只是x 的连续函数, 不含y . 此时易得, dx x y x N y y x M y x N ex ⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(1)(μ.类似地定理2.2 微分方程（1.1）具有形如)(y μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M ),(),(),(1 只是y 的连续函数, 不含x . 并且, dy x y x N y y x M y x M ey ⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(1)(μ.例2.1 求0)]()([=+-dy dx x q y x p 的通解. 解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1=)(x p , 故 ⎰=dx x p e x )()(μ. 方程两边同乘以⎰=dxx p e x )()(μ得 ⎰dxx p e )(0)]()([)(=⎰+-dy e dx x q y x p dx x p ,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-⎰⎰dx e x q ye d ds s p dx x p )()()(0=, 故通解为⎰⎰-⎰dx e x q ye ds s p dx x p )()()(=C , 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x q C e y ds s p dx x p )()()(，（C 为任意常数）. 情况2 如果(1.1)具有形如)(y x ±μ的积分因子, 令y x z ±=, 则)(y x ±μ =)(z μ. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1, 于是得到:定理2.3 微分方程（1.1）具有形如)(y x ±μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1只是y x z ±=的连续函数, 此时积分因子为dz x y x N y y x M y x M y x N Cey x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(),(1)()( μμ, (C 为任意非零常数).例2.2 求 0)32()32(32233223=-+++-++dy x x xy y dx y y y x x 的积分因子.解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1=y x +-2故方程具有形如)(y x +μ的积分因子, 取1=C 得，)(y x +μ⎰=++-)(2y x d y x e=2)(1y x +.情况3 如果(1.1)具有形如)(xy μ的积分因子, 令xy z =, 则)(xy μ=)(z μ. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1, 于是得到:定理2.4 微分方程（1.1）具有形如)(xy μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1只是xy z = 的连续函数, 此时积分因子为dz x y x N y y x M y x xM y x yN Cexy z ⎰==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(),(1)()(μμ, (C 为任意非零常数).例2.3 求0)3(23=-+dy y x x ydx 的积分因子. 解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1=xy 3-， 故方程具有形如)(xy μ的积分因子, 取1=C 得 )(xy μ⎰=-)(3xy d xy e=3)(1xy -. 情况 4 一般地, 如果方程(1.1)具有形如)(n m y x ±μ的积分因子, 令n m y x z ±=, 则)(n m y x ±μ)(z μ=. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂--x y x N yy x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111 , 于是得到定理2.5 微分方程（1.1）具有形如)(n m y x ±μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂--x y x N yy x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111 只是nm y x z ±=的连续函数,此时积分因子为 dz x y x N y y x M y x M ny y x N mx n m n m Ce y x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂--),(),(),(),(111)()( μμ, (C 为任意非零常数).类似地, 我们有定理2.6 微分方程（1.1）具有形如)(l k y x μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111只是lk y x z =的连续函数, 此时积分因子为 dz x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k l k Ce y x z ⎰==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂---),(),(),(),(111)()(μμ, (C 为任意非零常数).例2.4 求 0)(2223=-+dy xy x dx y 的积分因子. 解: 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111， =])2(2[4522y l k kx y x xy l k +--, 易知, 欲使上式仅是lky x z =的函数, 只须22)2(245yl k kx xy +--等于常数即可. 为此, 令 42=k , 52=+l k , 得 2=k , 1=l . 此时 22)2(245y l k kx xy +--=-1. 取1=C 得yx ey x y xd y x 2)(1121)(22=⎰=-μ.三、一般理论定理 3.1 如果),(y x μ是微分方程(1.1)的积分因子, (1.1)乘以),(y x μ后得到(1.3). 设(1.3)的左端为),(y x dU , 则)),((),(y x U y x Φμ仍是(1.1)的积分因子. 其中, )(•Φ是任何可微函数.定理 3.2 在(1.1)中, 若),(y x M 和),(y x N 在长方形区域Q 上连续,且),(y x N 在Q 上处处不为零. 对于(1.1)的任何两个在Q 上处处连续且恒不为零的积分因子),(1y x μ, ),(2y x μ(从而),(1y x μ, ),(2y x μ在Q 上不变号), 设]),(),()[,(),(11dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ]),(),()[,(),(22dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ.则在Q 内任一点),(y x , 可定出一邻域, 在此邻域内, ),(),(12y x y x μμ只是),(1y x U 的函数.上述两定理的证明可参见参考文献[3].注 3.1 由定理3.1和定理3.2 即知, 设),(y x μ是(1.1)的积分因子, (1.3)的左端为),(y x dU , 则(1.1)的积分因子通式为)),((),(y x U y x Φμ. 其中, )(•Φ是任何可微函数.例3.1 求 0)73()35(223=-+-dy xy x dx y xy 的积分因子及通解. 解: 重新组合: )35(2dy x xydx +0)73(23=+-dy xy dx y , 对于前一个括号内可求得一个积分因子yx 211=μ, 乘之得dy ydx x 35+ ][ln 35y x d =. 故前一个括号内可取积分因子通式为yx 21)(351y x Φ.同样可得后一个括号内的积分因子通式为31xy)(732y x Φ. 下面求出1Φ, 2Φ, 使得yx 21)(351y x Φ=31xy)(732y x Φ. 设 αs s =Φ)(1, βs s =Φ)(2, 即有yx 21α)(35y x =31xyβ)(73y x , 于是得 ⎩⎨⎧-=--=-37131325βαβα, 解得21=α, 21=β. 从而即得原微分方程的一个积分因子为2121y x , 用2121y x 乘以方程的两边可求得通积分为 C y x y x =-27232325, (C 为任意常数).。