微分方程积分因子的求法何佳【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。

因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。

但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。

但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。

通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。

所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。

如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。

如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。

同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。

【关键字】微分方程 ， 积分因子 ， 求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、 与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、 与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、 满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、 方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、 方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、 方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言： 微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。

它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。

人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。

所以我们必须能够求出它的解。

同时，对于全微分方程我们有一个通用的求解公式。

但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是全微分方程。

那时对于这类不是全微分方程的一阶微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。

§1、与()x y αβμ有关的积分因子一般的，我们有这样的定义：假如存在这样的连续可微函数μ( x , y )≠0使方程：μ( x , y ) M ( x , y ) dx +μ( x , y ) N ( x , y ) dy =0 .（1-1）成为全微分方程，我们就把μ( x , y )称为方程（1-1）的一个积分因子。

推论1 若111()()m n P Q y x x y myQ nxP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦仅是n m y x 的函数时， 设 111()()m n P Q y xx y myQ nxP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦=)(n m y x ϕ则方程(1-1)有积分因子：exp ()()m n m n x y d x y μϕ⎡⎤=⎣⎦⎰ ． 证明 ： 设()m n x y μμ=，令n m y x z =，则μ满足：xQ y P P y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμln ln ⇒11ln m n m n d P Q mx y Q nx y P dz y x μ--∂∂⎡⎤-=-⎣⎦∂∂ ⇒=dz d μln 111()()m n P Q y xx y myQ nyP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦ 因此，当且仅当上式的右端是关于n m y x 的函数，设为)(n m y x ϕ，方程(1-1)有积分因子：exp ()()m n m n x y d x y μϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例1 求方程3243(2)(48)0y x y x dx x xy y dy +++++=的积分因子．解：∵1()P Q yQ xP y x ∂∂--∂∂344332(1)(14)(48)(2)x y y x xy y x y x y x +-+=++-++12xy =-+ ∴ 方程有积分因子：l n (2)11exp ()22xy u d xy e xy xy -+=-==++⎰§2、与()m n ax by μ+有关的积分因子推论 1 如果)(1xQ y P P Q ∂∂-∂∂-仅是关于)(y x +的函数，则可设 )(1xQ y P P Q ∂∂-∂∂-)(y x +=ϕ 则方程(1-1)有积分因子：exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰． 证明 ： 如果μ仅是关于)(y x +的函数，即)(y x +=μμ，设y x z +=，此时μ满足： y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂μμln ln ，xQ y P P ∂∂-∂∂= 即=dzd μln )(1x Q y P P Q ∂∂-∂∂- 因此，当上式右端仅是关于)(y x +的函数时，设为)(y x +=μμ，则方程(1-1)有积分因子：exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰．推论 2 若 )()(21xQ y P yP xQ ∂∂-∂∂-仅是)22(y x +的函数时， 设)()()(2122y x x Q y P xP yQ +=∂∂-∂∂-ϕ 则方程(1-1)有积分因子：2222exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰． 证明 设)(22y x +=μμ，令22y x z +=，则μ满足(1-1)式，即： 有 xQ y P P y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμln ln ⇒[]ln 22d P Q xQ yP dz y xμ∂∂-=-∂∂ ⇒ln 1(22)d P Q dz xQ yP y x μ∂∂=--∂∂．因此，当上式右端为22()x y +的函数时，设为22()x y ϕ+，则方程(1-1)有积分因子 ：2222exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰ 推论 3 若 1()(0)(2)P Q a xQ aP y x∂∂-≠-∂∂仅是2()x ay +的函数时， 设21()()(2)P Q x ay xQ aP y x ϕ∂∂-=+-∂∂ 则方程(1-1)有积分因子：22exp ()()x ay d x ay μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰． 证明 ： 设2()x ay μμ=+，令2z x ay =+，则μ满足(1-1)式，即：ln ln d z d z P Q Q P dz x dz y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ ⇒[]ln 2d P Q xQ aP dz y xμ∂∂-=-∂∂ ⇒ln 1()(2)d P Q dz xQ aP y x μ∂∂=--∂∂ 因此，仅当上式右端为2()x ay +的函数时，设为2()x ay ϕ+，则方程(1-1)有积分因子：22exp[()()]x ay d x ay μϕ=++⎰例1 求解32233223(23)(23)0x x y y y dx y xy x x dy ++-+++-=的积分因子．解： 由 1()P Q Q P y x ∂∂--∂∂222232233223(323)(323)(23)(23)x y y y x x y x y x x x x y y y +--+-=++--++- 2x y =-+ 可知方程有积分因子： 2exp ()u d x y x y=-++⎰()2ln x y e -+=21()x y =-+．例2 求解方程20x dx dy ++=（的积分因子．解： 由方程可知 P x = ； 2Q = 因为 211()(4)22(4)P Q a xQ aP y x x y ∂∂--==-∂∂+仅是24x y +的函数，则方程的积分因子是：μ=二、微分方程积分因子求法的推广微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法，极大的提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。

§1 满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 定理1 假设(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中(,)P x y ，(,)Q x y 存在以下关系：()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂ 其中()f x 是x 的连续函数，则该方程的积分因子是：1()(,)f x dx dyy x y e μ+⎰⎰= ()f x dx e y ⎰=⋅．证明 ：1()()f x dx dy y f x e x μ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰∂=∂ ()(,)f x x y μ=1()1f x dx dy y e y yμ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰∂=∂ 1(,)x y y μ= (,)(,)(,)(,)0x y P x y dx x y Q x y dy μμ+=即：P P P y y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ P P y yμμ∂=+∂ Q Q Q x x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ ()Q Qf x xμμ∂=+∂ 若要使得(,)x y μ是积分因子，必须满足：Q P x yμμ∂∂=∂∂ 则 ()P P Q Qf x y y xμμμμ∂∂+=+∂∂ 即 ()P Q P Qf x y x y μμ⎡⎤⎡⎤∂∂-=-⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦即要满足： ()Q P P Qf x x y y∂∂-=-∂∂． 若满足以上定理可得到如下定理：定理2 如果()(,)f x dx x y e y μ⎰=⋅是方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的积分因子，则()2()222(,)()f x dx f x dx x y e y e y μ⎰⎰=⋅=⋅也是该方程的积分因子证明 ：∵ 220Pdx Qdy μμ+=∴ 22()2P P P y y yμμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 222P P y yμμ∂=+∂ 22()2Q Q Q x x xμμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 222()Q Qf x xμμμ∂=+∂ 22()()P Q y xμμ∂∂-=∂∂22(2)(2)P Q P Q y y x x μμμμμμ∂∂∂∂+-+∂∂∂∂ 22()()P Q P Q y x y xμμμμ∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂ 22(())()P P Q Q f x y y xμμμμ∂∂=-+-∂∂ 222(())()P P Q Qf x y y xμμ∂∂=-+-∂∂ 因为()f x ，1y 分别是x ，y 的连续函数，则由连续函数的局部性质知2()f x ，2y 也分别是x ，y 的连续函数．又因为 22()P Q P Q f x y x y∂∂-=-∂∂ 22()()P Q y xμμ∂∂-=∂∂222(())()P P Q Qf x y y x μμ∂∂-+-∂∂ 222(())2(())P P Qf x Qf x y yμμ=-+- =0 所以 220Pdx Qdy μμ+=是全微分方程．所以 2μ也是该方程的积分因子．例3 求3sin 0y yx dx e xdy +=的积分因子．解 ：3cos y P Q x e x y x∂∂-=-∂∂ ()cot f x x =-可以由上面的定理得到方程的积分因子：cot xdx e y μ-⎰=⋅．例 4 求23sin 0y y xdx x ye dy +=的积分因子． 解 ：22sin 3y M N x x ye y x∂∂-=-∂∂ 可以取 2333()y y x ye f x x ye x--== 从而使该方程能够满足定理1所需条件 则有：313331dx dx x x y e y e y y x xμ--⎰⎰=⋅=⋅=⋅= 所以方程的积分因子是：3y x μ=． 同理，由定理2知：26y xμ= 也是该方程的积分因子．§2方程1123422(3)36330m m m m xmx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子定理3 齐次方程为：1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦ 则该方程有积分因子：1222()x y μ=+．证明： 令1222()z x y =+则知 1222()z x x y x -∂=+∂ 1222()z y x y y-∂=+∂ ∵ (,)(,)0x y P d x x y Q d y μμ+= 1123(3)3m m P m x mx y xy +-=+++ 422633m Q y x y x y =++∴P d z P P y d z y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 1222()d PPy x y dz yμμ-∂=++∂ Q d z Q Q x dz x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 1222()d QQx x y dz xμμ-∂=++∂ 若有：P Qy xμμ∂∂=∂∂ 也即是有：1222()()()d Q PPy xQ x y dz x yμμ-∂∂-+=-∂∂ ⇒12221()()Q P d x y dzPy xQ x y μμ-∂∂-∂∂=-⋅+⇒1222ln ()()Q P d x y dzPy Qx x y μ-∂∂-∂∂=-⋅+12221()x y =+∴ 12221()(,)dzxy x y eμ+⎰=122212221()()d xy xy e++⎰= 1222ln()x y e+=1222()x y =+．例 5 求解齐次方程32342226cos 3cos 3cos (cos )63cos 30x y x y x d x y xy x y dy ⎡⎤⎡⎤+++++=⎣⎦⎣⎦的积分因子．解：由定理3得方程的积分因子是： 1222()x y μ=+§3、方程13()30mm mxm x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子定理4 齐次方程：13()30m m mx m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦则该方程有积分因子：2()x y μ=+．证明： 令2()z x y =+ 则知22x y x μ∂=+∂ 22x y yμ∂=+∂ 因为 (,)(,)0x y P d x x y Q d y μμ+= 所以有P d z PP y d z y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ (22)d PP x y dz yμμ∂=++∂ Q d z QQ x dz x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ (22)d QQ x y dz xμμ∂=++∂若有P Qy xμμ∂∂=∂∂ 则有：()(22)()d Q PP Q x y dz x yμμ∂∂-+=-∂∂ ⇒1()(22)Q P d x y dz P Q x y μμ∂∂-∂∂=-⋅+ ⇒ln ()(22)Q P d x y dz P Q x y μ∂∂-∂∂=-⋅+21()x y =+所以 (,)x y μ22211()()()dzd x y x y x y ee+++⎰⎰==2ln()x y e +=2()x y =+．例 6 求解齐次方程4343s i n 4(s i n )s i n (s i n )3s i nyy x x e x dx xde ⎡⎤+++=⎣⎦ 的积分因子．解： 方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为： 2(s i n )y x e μ=+．§4方程1(4)4450mm mm xmx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子定理5 若齐次方程的形式为：1(4)4450m m mm x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦则方程的积分因子是：3()x y μ=+．证明： 令3()z x y =+ 则知23()z x y x ∂=+∂ 23()z x y y∂=+∂ 因为 (,)(,)0x y P d x x y Q d y μμ+= 1(4)4m m P m x mx y y -=+++ 45m Q x x y =++所以有P d z P P y d z y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 23()d PP x y dz yμμ∂=++∂ Q d z QQ x dz x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 23()d QQ x y dz xμμ∂=++∂若有P Qy xμμ∂∂=∂∂ 即有：23()()()d Q PP Q x y dz x yμμ∂∂-+=-∂∂ ⇒21()3()Q P d x y dz P Q x y μμ∂∂-∂∂=-⋅+ ⇒2ln ()3()Q P d x y dz P Q x y μ∂∂-∂∂=-⋅+31()x y =+ 所以 31()(,)dzx y x y eμ+⎰=31()()d x y x y e++⎰=3ln()x y e += 3()x y =+所以 方程的积分因子是：3()x y μ=+．例7 求齐次方程323(7sin 3sin 4)(sin 4sin 5)0x xy y dx x x y dy +++++=的积分因子．解：方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是： 3()x y μ=+．本文讨论了几种微分方程积分因子的求解方法。