数学分析（1）复习题（一）一、按要求写出下列定义的数学描述（4⨯/5=20/）1、A x f x ≠+∞→)(lim 的X -ε正面描述为2、由Cauchy 收敛准则，若数列{}n x 收敛，则3、η为非空数集S 的下确界即4、a 为无限集合S 的聚点即5、区间套[]{}n n b a ,的定义为 二、计算题（8⨯/6=48/）1、求210)sin (lim x x xx →.2、求)sin2sin1(sinlim 222nn n n n +⋅⋅⋅++++∞→πππ.3、确定xx x f sin )(=的间断点并判断其类型.4、设x x x x f xxsin )(sin +=，求)(x f '.5、x y 3sin =，求)(n y .6、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式.7、设)7ln 12(4-=x x y ，试确定其凹凸区间及拐点.8、确定,,b a 使函数⎩⎨⎧≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 处连续.三、证明题（4⨯/8=32/） 1、用δε-定义证明.1031lim23=+→x x x 2、设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明至少存在(),,b a ∈ξ使得下式成立： .ln )()()(abf a f b f ξξ'=-3、证明：若f 在[]b a ,上连续，)(lim x f x +∞→存在且有限，则f 在[)+∞,a 上一致连续.4、设f 在()+∞,a 内可微并且,0)(lim ='+∞→x f x 证明0)(lim=+∞→xx f x .数学分析（1）复习题（二）一、单项选择题（5⨯/3=15/） 1、=∞→n n n2lim（ ） A.0；B 、21；C 、1；D 、2. 2、设函数是n 次多项式，则=+)()1(x f n （ ） A 、n ；B 、n+1；C 、0；D 、1.3、如果当0→x 时,)(x f 是x 的高价无穷小量,则=→xx f x sin )(lim 0( ). A.21； B 、0； C 、2； D 、1. 4、设f 在x 的某邻域内有有定义，则下列命题哪一个为假？（ ）A.f 在点x 可微，则f 在点x 连续； B 、f 在点x 不连续，则f 在点x 一定不可导；C 、f 在点x 连续，则f 在点x 可微；D 、f 在点x 可导当且仅当f 在点x 可微.5、函数2)(x x f =与x x g =)(定义在[)∞,0上，它们在定义区间上是一致连续的吗？（ ）A.两个都是一致连续的； B 、两个都不是一致连续的； C 、f 是一致连续的，g 不是一致连续的； D 、f 不是一致连续的，g 是一致连续的.二、填空题（5⨯/3=15/）1、如果要使函数xx x f 1sin )(=在点0=x 连续，需重新定义=)0(f2、设1)(0='x f ，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000 3、函数⎩⎨⎧≤>+=,1,,1,)(2x x x b ax x f 在1=x 处可导，则=+2013b a4、设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，则=')0(y5、设⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin ，则==2πt dx dy三、计算题（6⨯/6=36/）1、用N -ε语言叙述数列{}n x 收敛到a 的定义，并根据定义验证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++11222n n 收敛.2、①求极限xx x 2211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→； ②求极限xx e x x cos 1sin )1(lim 0--→ 3、设xtg a x x y 1)ln(222--+=，求dy . 4、设函数22)(x e x f -=,求)0()4(f .5、求曲线211x y +=在)21,1(-处的切线方程和法线方程. 6、求函数1)(23+--=x x x x f 的单调区间、凹凸区间、极值和拐点. 四、证明题(1、2、3题各9分，4题7分，共34分)1、叙述单调有界定理并考虑下列问题.设,1),,2,1)(1(211>⋅⋅⋅=+=+x n x x x nn n(1) 证明数列{}n x 单调递减有下界. (2)求数列{}n x 的极限.2、用罗尔（Rolle ）定理证明拉格朗日(Lagrange)中值定理并证明不等式：)0()1l n (1><+<+x x x xx3、叙述连续函数的零点定理并用区间套定理加以证明.4、用柯西收敛准则证明数列n n nx 2sin 22sin 21sin 12+⋅⋅⋅+++=收敛. 数学分析（1）复习题（三）一、 填空（共15分，每题5分）：1. 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 , =E inf ;2. 设=--='→5)5()(lim,2)5(5x f x f f x 则 ；3. 设⎩⎨⎧>++≤=0,)1ln(,0,sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 ， =b 。
二、 计算下列极限：（共20分，每题5分）1、n n n1)131211(lim ++++∞→ ; 2、3)(21limn nn ++∞→； 3、 ax ax a x --→sin sin lim ； 4、xx x 1)21(lim +→。
三、 计算导数（共15分，每题5分）：1. );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+=求2.3. 设。
求)100(2,2sin )23(y x x y -= 四、 （12分）设0>a ，}{n x 满足：,00>x ,2,1,0),(211 =+=+n x ax x nn n证明：}{n x 收敛，并求。
n n x ∞→lim五、 10分）求椭圆),(1002222y x by a x 过其上点=+ 处的切线方程。
六、 （10分）利用Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必收敛。
七、（8分）设满足：上在)0(),[)(>+∞a a x f|||)()(|),,[,y x K y f x f a y x -≤-+∞∈∀为常数）。
证明：0(≥K1、上有界；在),[)(+∞a xx f 2、上一致连续。
在),[)(+∞a xx f ;sin cos 33表示的函数的二阶导数求由方程⎩⎨⎧==t a y ta x八、（10分）设n a a a ,,21为实常数，证明：nxa x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=内必有零点。
在),0(π数学分析（1）复习题（四）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续但不可导，则=)('a f （ ） A 、不存在； B 、)('a ϕ； C 、)(a ϕ； D 、)('a ϕ-。
2、当x 很小时，下列近似公式正确的是（ ）A 、x e x ≈ ；B 、x x ≈ln ；C 、x x n +≈+11； `D 、x x ≈sin 。
3、曲线x x y arctan =的图形应为（ ）A 、在),(+∞-∞内上凸；B 、在),(+∞-∞内下凸；C 、在),(+∞-∞内单调上升；D 、在),(+∞-∞内单调下降。
4、当0→x 时，)cos 3(cos 41x x -是2x 的（ ）A 、高阶无穷小；B 、同阶无穷小，但不是等阶无穷小；C 、低阶无穷小；D 、等阶无穷小。
5、设)(x f 三阶连续可导于[]δδ,-上且0)0('')0('==f f ，2)('''lim 0=→xx f x 则（ ） A 、)0(f 是)(x f 的极大值 ； B 、)0(f 是)(x f 的极小值； C 、)0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； D 、))0(,0(f 不是)(x f y =的拐点。
二、填空题（每小题3分，共15分）1、设)sgn(cos )(x x f =，则[]ππ,)(-在x f 上的全部间断点是 。
2、=-+-+∞→12)1323(lim x x x x 。
3、抛物线2x y =的最小曲率半径是 。
4、设)1(1)(x x x f -=，则)()(x f n 。
5、曲线x y x y 2sin )(==与在原点相切，则=∞→)4(lim n nf n 。
三、计算题（每小题8分，共40分）。
1、求极限)sin 11(lim 220xx x -→。
2、求')(ln sin 2y x x x x y 的导数++=。
3、设函数)(x y y =由方程e xy e y =+所确定，求)0(''y 。
4、如果函数⎩⎨⎧≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 连续可导，求b a +5、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式。
四、证明题（每小题5分，共20分）。
1、按δε-定义证明5311lim22=++→x x x 。
2、证明：当)2,0(π∈x 时有不等式πx x 2sin >。
3、设)(x f 在[]b a ,上连续)0( a ，在),(b a 内可导，则存在ξ，),(b a ∈η使)('2)('ηηξf ba f +=。
4、若[]上连续在+∞,)(a x f ，)(lim x f x +∞→存在且有限，则[)+∞,)(a x f 在上一致连续。
五、应用题（本题共10分）已知曲线1=xy 在第一象限的分支上有一定点)1,(aa P )0(>a ，在给定曲线的第二象限中的分支上有一动点Q 。
试求使线段PQ 长度为最短的Q 点的坐标。