《数学分析》期末考试复习题(第四套)
班级 学 号 姓 名
一.( 满分 2 0 分,每小题 2 分)判断题:
1. 设ξ是数集E 的聚点 . 则存在0 >δ,使在) , (δξδξ+-外仅有数集E 的 有限个点. ( ) 2. 单调有界数列必为基本列 . ( ) 3. 闭区间] , [b a 上仅有一个间断点的函数必( R )可积 . ( )
4. 当无穷积分
⎰
+∞
a
dx x f )(和
⎰+∞
a
dx
x g )(都收敛时,积分
⎰
+∞
a
dx x g x f )()(必收敛
() 5. 若级数∑
+α
11n
收敛 , 则必有0>α. ( )
6. 设0>n u 且) ( , 0∞→→n u n . 则级数∑+-n n u 1) 1 (必收敛 . ( )
7. 设在区间I 上对n ∀有)( |)(|x v x u n n ≤. 若级数∑)(x v n 在区间I 上 一致收 敛 , 则级数∑)(x u n 也在区间I 上 一致收敛 . ( )
8. 设在区间I 上函数列)}({x f n 收敛于函数)(x f .若存在数列⊂} {n x I , 使 0|)()(|→/-n n n x f x f ,则函数列)}({x f n 在区间I 上非一致收敛 . ( )
9. 设函数)(x f 在区间)0 ( ) , (>-R R R 内有任意阶导数 , 且其Maclaurin 级数
∑
∞
=0
)
(!
)
0(n n
n x n f
在 ) , (R R -内收敛 . 则在 ) , (R R -内有=
)(x f ∑
∞
=0
)
(!
)
0(n n
n x n f
.()
二. ( 满分 1 0 分,每小题 2 分)填空题:
10. ()⎰-=+-+-1
1
52212sin ||dx x x x x x x .
11. =
+⎰
→3
2
)1ln(lim
x
dt
t x
x .
12. =
+∑
∞
=1
)
1( 2n n n .
13. |
|1)(2
2
2
x n x
n x f n +=
, ) , (∞+∞-∈x . =∞
→)(lim x f n n .
14. 幂级数∑
∞
=-1
1
2!n n n
x
n
n 的收敛区间为 .
三.(满分 2 4 分,每小题 6 分)计算题:
15. )
21( 21lim
3
3
3
44
4
n n n
n ++++++∞
→ .
16. 把函数=)(x f x 2sin 展开成 x 的幂级数 .
17. 在区间] , [ππ-上把函数=)(x f x 展开成Fourier 级数 .
18. 求幂级数∑
∞
=++0
3
)
2(!n n n n x
的和函数 .
四.(满分1 0 分,每小题 5 分)判敛题:
19. 判断级数 ∑
∞
=-++1
2
)
12(2n n n n n 的敛散性 .
20. ] 1 , 0 [ ,)(∈=x x x f n n . 讨论函数列)}({x f n 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.
五.证明题
21. 证明函数项级数∑
∞
=1
cos n n
nx 在) , 0 (π内条件收敛 .
22. 设函数项级数∑)(x u n 和∑)(x v n 在区间I 上一致收敛 . 试证明级数
()∑+)()(x v x u
n n
也在区间I 上一致收敛 .
23. ∑
∞
==
1
1)(n x
n
x f . 试证明函数)(x f 在区间) , 1 (∞+内连续 .
注:本套无解答。