S
D O A B M
C
正棱锥中的基本图形
推广到一般正棱锥中都存在这 S 个小三棱锥， 个小三棱锥， 它是正棱锥中的基本 图形，是正棱锥的关键部分。 图形 ，是正棱锥的关键部分。它集 中反映了正棱锥的线面关系，将正 中反映了正棱锥的线面关系， 棱锥中基本量 L，h，h′ ，a，R，r， ， ， ， ，， h 以及侧棱与底面所成角， 以及侧棱与底面所成角 ，侧面与底 面所成的角， 面所成的角， 通过四个直角三角形 有机地联系在一起， 有机地联系在一起，因而解题时可 将题目中各量转化进这个小三棱锥 O 中进行计算。 中进行计算。
B1
C1
x1
作一个底面边长为5cm，高为 例 作一个底面边长为 ，高为11.5cm的正 的正 五棱锥直观图。 比例尺 比例尺1:5) 五棱锥直观图。(比例尺
z S S
y1 D1 o1
A1 B1
E1
C1
E1
D1 o1
B1
C1
x1
A1
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。 多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。 围成多面体的各个多边形称为多面体的面，两个 围成多面体的各个多边形称为多面体的面， 多面体的面 面的公共边叫做多面体的棱， 面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶 多面体的棱 多面体的顶点。 点叫做多面体的顶点 点叫做多面体的顶点。
Y M
斜二测画法规则： 斜二测画法规则：
A1 B1
F1 M1 O N X
.
.
Y1 E1 D1 X1
O1 N1 C1
(1)在已知图形中取互相垂直的 轴和 轴，两轴交于点 画 在已知图形中取互相垂直的x轴和 在已知图形中取互相垂直的 轴和y轴 两轴交于点O.画 直观图时，把它们画成对应的x 轴和y 两轴交于点O 直观图时，把它们画成对应的 1轴和 1轴，两轴交于点 1 它们确定的平面表示水平面。 ，使∠x1O1y1=450,它们确定的平面表示水平面。 它们确定的平面表示水平面 (2) 1、在已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直 轴或y轴的线段 、在已知图形中平行于x轴或 轴的线段， 观图中分别画成平行x 轴或y 轴的线段。 、 观图中分别画成平行 1轴或 1轴的线段。2、在已知图 形中平行于x轴的线段 轴的线段， 形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原来长度不 平行于y轴的线段 长度为原来的一半。 轴的线段， 变；平行于 轴的线段，长度为原来的一半。
L r R
h’
B 2
a M
已知： 例 2，已知：正三棱锥 V－ABC， VO 为高 ， AB＝6，VO＝ 6 ，求 为高， 侧棱长及斜高。 侧棱长及斜高。 V
A O
B
C
P62.8已知正六棱锥的底面边长是 已知正六棱锥的底面边长是4cm,侧棱长是 侧棱长是8 已知正六棱锥的底面边长是 侧棱长是 Cm ,求它的侧面和底面所成的二面角 求它的侧面和底面所成的二面角. 求它的侧面和底面所成的二面角
F1 A1 B1
Z
F1 E1 D1 C1 Y A1 B1 C1
E1 D1
F E D A X B C
E D
F A O B C
(3)画一个与 轴、y轴都垂直的 轴，在直观图中平 画一个与x轴 轴都垂直的z轴 画一个与 轴都垂直的 行于z轴的线段的平行性和长度都不变 轴的线段的平行性和长度都不变。 行于 轴的线段的平行性和长度都不变。
S
解: 设棱锥的高 设棱锥的高SO,取DC的中点 取 的中点 的中点G 连结SG,OG. 连结
∠SGO就是侧面与底面所成的角.
由正六边形的性质知OD=DC=4 由正六边形的性质知
F
O
E D
G
A B
∴ SO = SD OD = 4 3,
2 2
C
∴ SG = SD DG = 2 15,
2 2
2 5 4 3 2 5 . sin ∠SGO= = . ∠SGO = arc sin 5 5 2 15
食盐
明矾
石膏
（2）多面体分类： ）多面体分类： （3）正多面体： ）正多面体：
按多面体面数分类 如四面体、五面体、 如四面体、五面体、六面体等
定义： 定义：每个面都是有相同边数的正多边 形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面 叫做正多面体 体，叫做正多面体
正多面体有且仅有五种：正四面体、 正多面体有且仅有五种：正四面体、 正六面体、正八面体、正十二面体、 正六面体、正八面体、正十二面体、正二 十面体
多面体的画法及正多面体
问题提出： 问题提出： 如何把立体图形画在纸上？ 实质： 实质 把本来不完全在同一平面内的
点的集合，用同一平面内的点来表示.
如图是正方体的直观图 复习回顾 (以正六棱柱为例 以正六棱柱为例) 以正六棱柱为例 ①斜二测画法规则 ②直棱柱直观图画法：先作水平放置的多边 直棱柱直观图画法： 形直观图，再画一条与X轴垂直的 轴垂直的Z轴 形直观图，再画一条与 轴垂直的 轴，把平 行于Z轴的线段保持长度与平行性不变 轴的线段保持长度与平行性不变. 行于 轴的线段保持长度与平行性不变
正四棱锥S-ABCD中,高为 底面边长 高为a,底面边长 3 、 正四棱锥 中 高为 为2a, 求: (1)、 (1)、底面与侧面所成的二面角 (2)、 到侧棱SC的距离 (2)、点B到侧棱 的距离 到侧棱 (3)、相邻两个侧面所成的二面角 、
S E
D A O B H
C
4、有一矩形纸片ABCD，AB=5,BC=2, 有一矩形纸片 ， E,F分别是 ，CD上的点，且 分别是AB， 上的点 上的点， 分别是 BE=CF=1，把纸片沿 折成直二面角 折成直二面角. ，把纸片沿EF折成直二面角 (1)求B、D两点的距离 求 、 两点的距离 (2)求证 ，BD交于一点且被这点平分 求证AC， 交于一点且被这点平分 交于一点且被这点平分. 求证
正棱锥的直观图与正棱柱的画法一样， 正棱锥的直观图与正棱柱的画法一样 ， 由底 面与高来决定， 面与高来决定，底面图形的画法即平面直观图的 画法，高的画法是过底面中心作底面的垂线， 画法，高的画法是过底面中心作底面的垂线，其 长度即为原棱锥的高， 长度即为原棱锥的高，垂线段的另一端点即为正 棱锥的顶点
正多面体有且仅有五种：正四面体、 正多面体有且仅有五种：正四面体、 正六面体、正八面体、正十二面体、 正六面体、正八面体、正十二面体、正二 十面体
以上5种正多面体的展开图: 以上5种正多面体的展开图:
基础练习 判断题 1.有一个面是多边形， 1.有一个面是多边形，其它面都是三角形的几何体是棱 有一个面是多边形 锥。（ ×） 2.一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直。（ 一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直。（ 一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直 3.一个棱锥可以有一个侧面和底面垂直。（ 一个棱锥可以有一个侧面和底面垂直。（ 一个棱锥可以有一个侧面和底面垂直
SLeabharlann E1D1 o1B1
C1
A1
作一个底面边长为5cm，高为 例 作一个底面边长为 ，高为11.5cm的正 的正 五棱锥直观图。 比例尺 比例尺1:5) 五棱锥直观图。(比例尺
比例尺:图上和实际距离的比 比例尺 图上和实际距离的比 y
D E N C E1 N1
y1 D1
o
A M B
x
A1
1 M
o
1
× √
） ）
4. 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥。（ × ） 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥。（ 所有的侧棱的长都相等的棱锥一定是正棱锥。 5 .所有的侧棱的长都相等的棱锥一定是正棱锥。( 所有的侧棱的长都相等的棱锥一定是正棱锥
×
）
已知： 例 1： ：已知：正四棱锥 S－ABCD 中，底面边长为 2， － ， （1）侧棱长； 斜高为 2。求 ： ） 侧棱长 ； 。 （ （ 2）棱锥的高 ； ） 棱锥的高； （ 3）侧棱与底所成的角的正切值 ； ） 侧棱与底所成的角的正切值； （ 4）侧面与底面所成的角 ； ） 侧面与底面所成的角；