＝3x2 及 y＝2 均不符合幂函数的形式 y＝xα， 故均不是 幂函数．
2．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)是什么？ 【提示】 由奇函数定义，f(－x)＝－f(x)，则f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
幂函数的概念
下列函数中是幂函数的是( ) ①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3； 1 1 ⑤y＝ 2；⑥y＝x2＋ . x x A．①③⑤ C．③⑤ B．①②⑤ D．只有⑤
yx ；
1 2
(2)观察上面的函数图象会发现以下特征： ①图象都过点(1,1)． ②在第一象限内函数y＝x，y＝x2，y＝x3， y
x
1 2
的图象自左向右看都是
上升的，也就是在[0，＋∞)上都是增函数，且这几种函数的图象都过原点． ③函数y＝x－1的图象在第一象限内自左向右看是下降的，即y＝x－1在(0， ＋∞)上是减函数．
【思路点拨】 依据幂函数的定义进行判断.
【解析】 y＝－x2 幂前系数是－1 而不是 1，故不是幂函数； y＝2x 指数不是常量，不是幂函数；y＝(x－1)3 的底数是 x－1 而不是 x，故不是 1 1 幂函数； y＝x2＋ 是两个幂函数和的形式， 也不是幂函数.y＝ 2＝x－2 和 y＝xπ 具有 x x 幂函数 y＝xα 的形式，所以选
解决有关幂函数问题的关键是会定性分析
x
q p
中，p，q
为正、负、奇、偶等各种情况的大体图象，要从函数的奇偶性、单调性出 发对函数进行探讨，重点要研究在第一象限内的各种情况.注意：所有幂函 q q 数在第一象限内均有图象，且过点(1,1)， ＞0，则为递增， ＜0，则为 p p 递减.
2.用描点法画出①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④ ⑤y＝x－1的图象并指出其特点. 【解析】 (1)图象如下图所示：
【思路点拨】 图象判断即可. 由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用
【解析】
设 f(x)＝xn，由题意得 2＝( 2)n，
∴n＝2，即 f(x)＝x2. 再设 g(x)＝x m， 1 由题意得 ＝(－2)m， 4 ∴m＝－2，即 g(x)＝x－2. f(x)，g(x)的图象如图所示 由图象知：(1)当 x＞1 或 x＜－1 时，f(x)＞g(x). (2)当 x＝± 1 时，f(x)＝g(x). (3)当－1＜x＜1，且 x≠0 时，f(x)＜g(x).
§5
简单的幂函数
若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，求该 函数的解析式．
1 【答案】 y＝ x2－2x＋1. 2
• 1．幂函数的定义 • 形如y＝xα ( 其中底数x为 • 2．函数的奇偶性 • 已知y＝f(x)，x∈A，则f(x)奇偶性定义见下表： 自变量 ，指数α为 常量 )的函数叫幂函数．
④y＝x，y＝x3，y＝x－1的图象关于原点对称，它们是奇函数；而y＝x2的
图象关于y轴对称，它是偶函数；y 是非奇非偶函数．
x 图象只在第一象限内(含原点)，它
1 2
函数奇偶性的判断
判断下列函数是否具有奇偶性．
1 (1)f (x)＝x－ x (2)f (x)＝x2－1，x∈[－3,3] 2x2＋6x (3)f (x)＝ x ＋3 (4)f (x)＝ 4－x2＋ x2－4
f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)
∴函数f(x)＝x2－1，x∈[－3,3]是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠－3}； 定义域不关于原点对称， ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f(x)的定义域为{x|x＝±2}， 此时函数f(x)＝0 f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x) ∴函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数． 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若 函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断 f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关
类别定
义
奇函数
偶函数 图象关于y轴对称的函 数叫作偶函数
图象定 图象关于 原点 对称 义 语言定 义 的函数叫作奇函数
f(－x)＝－f(x) 任意x∈A， f(－x)＝f(x) 任意x∈A，
1 1．函数 y＝3x ，y＝ 2，y＝2 都是幂函数吗？ x
2
【提示】
1 y＝ 2，即 y＝x－2 是幂函数；而函数 y x
【思路点拨】 解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然 后再验证f(x)与f(－x)之间的关系来确定奇偶性．
【解析】 (1)函数定义域为{x|x≠0} f(－x)＝(－x)－ ＝－(x－)＝－f(x) ∴f(－x)＝－f(x) ∴函数f(x)＝x－是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为[－3,3]关于原点对称，
【答案】
C 幂函数y＝xα要满足三个特征：
(1)幂xα前系数为1； (2)底数只能是自变量x，指数是常数； (3)项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数．
【解析】 根据幂函数的定义，知
幂函数的图象与性质
Hale Waihona Puke 1 点( 2，2)在幂函数 f (x)的图象上，点(－2， ) 4 在幂函数 g(x)的图象上． (1)当 x 为何值时，f (x)＞g(x)； (2)当 x 为何值时，f (x)＝g(x)； (3)当 x 为何值时，f (x)＜g(x)．
＝－f(x)， 所以函数f(x)＝x＋
方法二：y＝x，y＝
∴f(x)＝x＋
1 x
1 都是{x|x∈R且x≠0}上的奇函数， x 是奇函数．
1 是奇函数． x
(2)函数的定义域是{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称．
于y轴对称，则函数为偶函数．
3.判断下列函数是奇函数还是偶函数． (1)f(x)＝x＋ 1 (2)f(x)＝ x 2 ＋2；
1 ； x
(3)f(x)＝|x＋2|－|x－2|. 【解析】 方法一：函数的定义域是{x|x∈R且x≠0}， 所以关于原点对称，
1 1 又f(－x)＝－x＋ ＝－(x＋ ) x x