2020届高三数学立体几何专题(文科)吴丽康2019-111、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,P A⊥平面ABCD,E为PD的点、(Ⅰ)证明:PB // 平面AEC;3,(Ⅱ)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=4求A点到平面PBD的距离、2、如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB＝2CD,E为PB的中点.(1)求证:CE∥平面P AD;(2)在线段AB上就是否存在一点F,使得平面P AD∥平面CEF？若存在,证明您的结论,若不存在,请说明理由.3如图,在四棱锥P －ABCD 中,平面P AC ⊥平面ABCD ,且P A ⊥AC ,P A ＝AD ＝2,四边形ABCD 满足BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB ＝BC ＝1、点E ,F 分别为侧棱PB ,PC 上的点, 且PE PB ＝PF PC＝λ(λ≠0). (1)求证:EF ∥平面P AD ;(2)当λ＝12时,求点D 到平面AFB 的距离.4、如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 就是正方形.(1)证明:平面A 1BD ∥平面CD 1B 1;(2)若平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ,证明:B 1D 1∥l 、5、、如图,四边形ABCD就是平行四边形,点P就是平面ABCD外一点,M就是PC的中点,在DM上取一点G,过G与AP作平面交平面BDM于GH、求证:AP∥GH、6、如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,P A＝AB＝BC,E就是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE、7、(2018北京通州三模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,△PAB为等边三角形,E就是PB中点,平面AED与棱PC交于点F、(1)求证:AD∥EF; (2)求证:PB⊥平面AEFD;(3)记四棱锥P-AEFD的体积为V1,四棱锥P-ABCD的体积为V2,直接写出的值、8、、、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD就是∠DAB＝60°且边长为a的菱形,侧面P AD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.(1)求证:BG⊥平面P AD;(2)求证:AD⊥PB;(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD？并证明您的结论.9、(2016·高考北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC、(1)求证:DC⊥平面P AC;(2)求证:平面P AB⊥平面P AC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上就是否存在点F,使得P A∥平面CEF？说明理由.10、、如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD就是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F、(1)求证:AB∥EF;(2)若AF⊥EF,求证:平面P AD⊥平面ABCD、11、、如图,在四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,P A ＝AB ＝BC ＝3,AD ＝CD ＝1,∠ADC ＝120°,点M 就是AC 与BD 的交点,点N 在线段PB 上,且PN ＝14PB 、 (1)证明:MN ∥平面PDC ;(2)求直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值.12、、(2016·高考四川卷)如图,在四棱锥PABCD 中,P A ⊥CD ,AD ∥BC ,∠ADC ＝∠P AB ＝90°,BC ＝CD ＝12AD. (1)在平面P AD 内找一点M ,使得直线CM ∥平面P AB ,并说明理由;(2)证明:平面P AB ⊥平面PBD.13.(2016·高考江苏卷)如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D ⊥A 1F ,A 1C 1⊥A 1B 1、求证:(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ;(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F 、14、【2014,19】如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB 11、(1)证明:;1AB C B ⊥(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高、15、(2017天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥ BC, PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2、(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD⊥平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值、16、(2016·高考浙江卷)如图,在三棱台ABC DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB＝90°,BE＝EF＝FC＝1,BC＝2,AC＝3、(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.17、、(2018·全国Ⅲ)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M就是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC、(2)在线段AM上就是否存在点P,使得MC∥平面PBD？说明理由.立体几何中的翻折问题18、、、如图(1),在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD ＝π2,AB ＝BC ＝12AD ＝a , E 就是AD 的中点,O 就是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1­BCDE 、(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1­BCDE 的体积为362,求a 的值.19、.如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC ＝90°,AB ∥CD ,AD ＝CD ＝12AB ＝2, E 为AC 的中点,将△ACD 沿AC 折起,使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直, 如图2、在图2所示的几何体D －ABC 中:(1)求证:BC ⊥平面ACD ;(2)点F 在棱CD 上,且满足AD ∥平面BEF ,求几何体F －BCE 的体积.20.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝16,BC＝10,AA1＝8、点E,F分别在A1B1,D1C1上,过点E、F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形EFGH、(1)求证:A1E＝D1F;(2)判断A1D与平面α的关系.2020届高三数学立体几何专题(文科)1解析:(Ⅰ)设AC的中点为O, 连接EO、在三角形PBD中,中位线EO//PB,且EO 在平面AEC 上,所以PB //平面AEC 、(Ⅱ)∵AP =1,3AD =,-34P ABD V =, -11=32P ABD V PA AB AD ∴⋅⋅⋅33==64AB ,∴32AB =, 作AH ⊥PB 角PB 于H ,由题意可知BC ⊥平面P AB ,∴BC ⊥AH ,故AH ⊥平面PBC .又31313PA AB AH PB ⋅==,故A 点到平面PBC 的距离31313、 2、(1)证明:如图所示,取P A 的中点H ,连接EH ,DH ,因为E 为PB 的中点, 所以EH ∥AB ,EH ＝12AB , 又AB ∥CD ,CD ＝12AB. 所以EH ∥CD ,EH ＝CD , 因此四边形DCEH 就是平行四边形, 所以CE ∥DH ,又DH ⊂平面P AD ,CE ⊄平面P AD , 所以CE ∥平面P AD.(2)如图所示,取AB 的中点F ,连接CF ,EF , 所以AF ＝12AB , 又CD ＝12AB ,所以AF ＝CD ,又AF ∥CD ,所以四边形AFCD 为平行四边形,所以CF ∥AD , 又CF ⊄平面P AD ,所以CF ∥平面P AD ,由(1)可知CE ∥平面P AD , 又CE ∩CF ＝C ,故平面CEF ∥平面P AD ,故存在AB 的中点F 满足要求.3、(1)证明 ∵PE PB ＝PFPC ＝λ(λ≠0),∴EF ∥BC 、∵BC ∥AD ,∴EF ∥AD 、又EF ⊄平面P AD ,AD ⊂平面P AD ,∴EF ∥平面P AD 、(2)解 ∵λ＝12,∴F 就是PC 的中点, 在Rt △P AC 中,P A ＝2,AC ＝2,∴PC ＝P A 2＋AC 2＝6,∴PF ＝12PC ＝62、∵平面P AC ⊥平面ABCD ,且平面P AC ∩平面ABCD ＝AC , P A ⊥AC ,P A ⊂平面P AC ,∴P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC 、又AB ⊥AD ,BC ∥AD ,∴BC ⊥AB ,又P A ∩AB ＝A ,P A ,AB ⊂平面P AB ,∴BC ⊥平面P AB , ∴BC ⊥PB ,∴在Rt △PBC 中,BF ＝12PC ＝62、 连接BD ,DF ,设点D 到平面AFB 的距离为d ,在等腰三角形BAF 中,BF ＝AF ＝62,AB ＝1, ∴S △ABF ＝54,又S △ABD ＝1,点F 到平面ABD 的距离为1, ∴由V F －ABD ＝V D －AFB ,得13×1×1＝13×d ×54,解得d ＝455,即点D 到平面AFB 的距离为455、 4、证明 (1)由题设知BB 1∥DD 1且BB 1＝DD 1,所以四边形BB 1D 1D 就是平行四边形,所以BD ∥B 1D 1、又BD ⊄平面CD 1B 1,B 1D 1⊂平面CD 1B 1,所以BD ∥平面CD 1B 1、因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC 且A 1D 1＝B 1C 1＝BC ,所以四边形A 1BCD 1就是平行四边形,所以A 1B ∥D 1C 、又A 1B ⊄平面CD 1B 1,D 1C ⊂平面CD 1B 1, 所以A 1B ∥平面CD 1B 1、又因为BD ∩A 1B ＝B ,BD ,A 1B ⊂平面A 1BD , 所以平面A 1BD ∥平面CD 1B 1、(2)由(1)知平面A 1BD ∥平面CD 1B 1,又平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ,平面ABCD ∩平面A 1BD ＝直线BD ,所以直线l ∥直线BD ,在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,四边形BDD 1B 1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l、5、连接AC交BD于点O,连接MO,因为PM＝MC,AO＝OC,所以P A∥MO, 因为P A⊄平面MBD,MO⊂平面MBD,所以P A∥平面MBD.因为平面P AHG∩平面MBD＝GH,所以AP∥GH、6、[证明] (1)在四棱锥P-ABCD中,因为P A⊥底面ABCD, CD⊂平面ABCD,所以P A⊥CD,因为AC⊥CD,且P A∩AC＝A,所以CD⊥平面P AC,而AE⊂平面P AC,所以CD⊥AE、(2)由P A＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝P A、因为E就是PC的中点,所以AE⊥PC、由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD＝C,所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.因为P A⊥底面ABCD,所以P A⊥AB.又因为AB⊥AD且P A∩AD＝A,所以AB⊥平面P AD,而PD⊂平面P AD,所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A,所以PD⊥平面ABE、7、(1)证明因为ABCD为正方形,所以AD∥BC、因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC、因为AD⊂平面AEFD,平面AEFD∩平面PBC=EF, 所以AD∥EF、(2)证明因为四边形ABCD就是正方形,所以AD⊥AB、因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AD⊂平面ABCD, 所以AD⊥平面PAB、因为PB⊂平面PAB,所以AD⊥PB、因为△PAB为等边三角形,E就是PB中点,所以PB⊥AE、因为AE⊂平面AEFD,AD⊂平面AEFD,AE∩AD=A,所以PB⊥平面AEFD、(3)解由(1)知,V1=V C-AEFD,V E-ABC=V F-ADC=V C-AEFD=V1,∴V BC-AEFD=V1,则V P-ABCD=V1+V1=V1, ∴、8、[解] (1)证明:在菱形ABCD中,∠DAB＝60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD,平面P AD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面P AD.(2)证明:如图,连接PG、因为△P AD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.由(1)知,BG⊥AD,又PG∩BG＝G,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(3)当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:取PC的中点F,连接DE、EF、DF、在△PBC中,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE、而FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE＝E,PB⊂平面PGB,GB⊂平面PGB, PB∩GB＝B,所以平面DEF∥平面PGB.因为BG⊥平面P AD,PG⊂平面P AD,所以BG⊥PG、又因为PG⊥AD,AD∩BG＝G,所以PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.9、【解】(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC、又因为DC ⊥AC ,且PC ∩AC ＝C ,所以DC ⊥平面P AC 、(2)证明:因为AB ∥DC ,DC ⊥AC ,所以AB ⊥AC 、因为PC ⊥平面ABCD ,所以PC ⊥AB.又因为PC ∩AC ＝C ,所以AB ⊥平面P AC 、又AB ⊂平面P AB ,所以平面P AB ⊥平面P AC 、(3)棱PB 上存在点F ,使得P A ∥平面CEF 、理由如下:如图,取PB 中点F ,连接EF ,CE ,CF 、又因为E 为AB 的中点,所以EF ∥P A 、又因为P A ⊄平面CEF ,且EF ⊂平面CEF ,所以P A ∥平面CEF 、10、证明 (1)因为四边形ABCD 就是矩形,所以AB ∥CD 、 又AB ⊄平面PDC ,CD ⊂平面PDC ,所以AB ∥平面PDC ,又因为AB ⊂平面ABE ,平面ABE ∩平面PDC ＝EF ,所以AB ∥EF 、(2)因为四边形ABCD 就是矩形,所以AB ⊥AD 、因为AF ⊥EF ,(1)中已证AB ∥EF ,所以AB ⊥AF 、又AB ⊥AD ,由点E 在棱PC 上(异于点C ),所以点F 异于点D ,所以AF ∩AD ＝A ,AF ,AD ⊂平面P AD ,所以AB ⊥平面P AD ,又AB ⊂平面ABCD ,所以平面P AD ⊥平面ABCD 、11、(1)证明 因为AB ＝BC ,AD ＝CD , 所以BD 垂直平分线段AC 、又∠ADC ＝120°,所以MD ＝12AD ＝12,AM ＝32、 所以AC ＝3、 又AB ＝BC ＝3,所以△ABC 就是等边三角形,所以BM ＝32,所以BM MD ＝3,又因为PN ＝14PB ,所以BM MD ＝BN NP＝3,所以MN ∥PD 、 又MN ⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,所以MN ∥平面PDC 、(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以BD ⊥P A ,又BD ⊥AC ,P A ∩AC ＝A ,P A ,AC ⊂平面P AC ,所以BD ⊥平面P AC 、由(1)知MN ∥PD ,所以直线MN 与平面P AC 所成的角即直线PD 与平面P AC 所成的角, 故∠DPM 即为所求的角.在Rt △P AD 中,PD ＝2,所以sin ∠DPM ＝DM DP ＝122＝14, 所以直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值为14、 12、【解】 (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD ),点M 即为所求的一个点.理由如下:因为AD ∥BC ,BC ＝12AD ,所以BC ∥AM ,且BC ＝AM , 所以四边形AMCB 就是平行四边形,从而CM ∥AB.又AB ⊂平面P AB ,CM ⊄平面P AB ,所以CM ∥平面P AB.(说明:取棱PD 的中点N ,则所找的点可以就是直线MN 上任意一点)(2)证明:由已知,P A ⊥AB ,P A ⊥CD ,因为AD ∥BC ,BC ＝12AD ,所以直线AB 与CD 相交. 所以P A ⊥平面ABCD ,从而P A ⊥BD.连接BM ,因为AD ∥BC ,BC ＝12AD ,所以BC ∥MD ,且BC ＝MD. 所以四边形BCDM 就是平行四边形.所以BM ＝CD ＝12AD ,所以BD ⊥AB. 又AB ∩AP ＝A ,所以BD ⊥平面P AB.又BD ⊂平面PBD ,所以平面P AB ⊥平面PBD.13、[证明] (1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,A 1C 1∥AC 、在△ABC 中,因为D ,E 分别为AB ,BC 的中点,所以DE ∥AC ,于就是DE ∥A 1C 1、又DE ⊄平面A 1C 1F ,A 1C 1⊂平面A 1C 1F ,所以直线DE ∥平面A 1C 1F 、(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,A 1A ⊥平面A 1B 1C 1、因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1,所以A 1A ⊥A 1C 1、又A 1C 1⊥A 1B 1,A 1A ⊂平面ABB 1A 1,A 1B 1⊂平面ABB 1A 1,A 1A ∩A 1B 1＝A 1,所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1、因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1C 1⊥B 1D.又B 1D ⊥A 1F ,A 1C 1⊂平面A 1C 1F ,A 1F ⊂平面A 1C 1F ,A 1C 1∩A 1F ＝A 1, 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F 、因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ,所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F14、证明:(Ⅰ)连接 BC 1,则O 为B 1C 与BC 1的交点,∵AO ⊥平面BB 1C 1C 、 ∴AO ⊥B 1C , …2分因为侧面BB 1C 1C 为菱形,∴BC 1⊥B 1C ,…4分∴BC 1⊥平面ABC 1,∵AB ⊂平面ABC 1,故B 1C ⊥AB 、 …6分(Ⅱ)作OD ⊥BC ,垂足为D ,连结AD ,∵AO ⊥BC ,∴BC ⊥平面AOD ,又BC ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面AOD ,交线为AD ,作OH ⊥AD ,垂足为H ,∴OH ⊥平面ABC 、 …9分∵∠CBB 1=60°,所以ΔCBB 1为等边三角形,又BC =1,可得OD =34, 由于AC ⊥AB 1,∴11122OA B C ==,∴2274AD OD OA =+=, 由 OH·AD=OD·OA ,可得OH=2114,又O 为B 1C 的中点,所以点B 1到平面ABC 的距离为217, 所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为217。