2
5
0

D

0 0
q[0]

2 3
x[k] u[k]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
离散系统的状态方程为：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
在给定系统的初始状态q[k0]后，可直接用迭代法进行求解。
q[k0 1] Aq[k0] Bx[k0] q[k0 2] Aq[k0 1] Bx[k0 1]
2
5 q1[k]
0

q2 [k ]
系统状态变量的初始状态及系统输入为：
q1[0] q2[0]
2

3

x[k] u[k]
在时域求解该系统的状态变量和输出。
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
解：状态方程和输出方程写成矩阵形式：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
在z域求解该系统的完全响应。
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
解：状态方程和输出方程写成矩阵形式：
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
[例] 已知描述某离散系统的状态方程和输出方程为
q1[k q2[k

1] 1]

0

1
6
1
5

q1[k ] q2 [k ]
0 1
x[k ]
6

y1[k ] y2 [k ]

1

zq[0]

[C (
zI

A)1
B

D]X
(
z)
Yzi (z)
Yzs ( z)
然后再对Q(z)和Y(z)进行z反变换即可得到q[k]和y[k]。
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
[例] 已知描述某离散系统的状态方程和输出方程为
q1[k q2[k

1] 1]

0

1
6
yzi [k ]
yzs [k ]离散系统的状态方程和输出方程 Nhomakorabea时域求解
q[0]=0时，系统的零状态响应为：
yzs[k] CAk1Bu[k 1] D [k] x[k]
h[k ]
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
状态方程和输出方程：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]

y[k] Cq[k] Dx[k]
将上式两边取z变换，得:YzQ(z()z)CzQq[(0z])
AQ(z) DX (z)
BX
(z)
H(z)
整理得
Q(z) (zI A)1 zq[0] (zI A)1 BX (z)
Y
(
z)

C ( zI

A)1
q[3] Aq[2] Bx[2]

便于计算机迭代求解
0


1
6
1 5 6
19
1613 36

0 1
1
113


36 667

216
0
A


1
6
1
5

6
B

0
1

2 q[0] 3

y[k] Cq[k] Dx[k]
其中
0 1
A


1
5

6 6
B

0
1

C

1

2
5
0

D

0 0
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
求解状态方程： q[k +1] Aq[k] Bx[k]
k=0代入得：
q[1] Aq[0] Bx[0]
A2q[k0 ] ABx[k0] Bx[k0 1]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
q[k0 k] = Aq[k0 k 1] + Bx[k0 k 1]
∑k 1
= Akq[k0 ] + Ak1i Bx[i]
i=0
k k0
若初始时刻k0=0，则有:
∑k 1
q[k] = Akq[0] + ( Ak1i Bx[i])u[k 1]
i=0
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
将上式代入系统的输出方程得：
y[k] Cq[k] Dx[k]
k 1
CAkq[0] ( CAk1i Bx[i])u[k 1] Dx[k] i0
CAkq[0] CAk1Bu[k 1] D [k] x[k]

便于计算机迭代求解

1

2
5
0

3
19 6

77


6

6
y[2] Cq[2] Dx[2]
19

1 2
5 0
1613
36
451

1396

3
C

1

主讲人：陈后金
电子信息工程学院
状态空间变量分析
※ 系统状态变量分析的基本概念和普遍形式 ※ 连续时间系统状态方程和输出方程的建立 ※ 离散时间系统状态方程和输出方程的建立 ※ 连续时间系统状态方程和输出方程的求解 ※ 离散时间系统状态方程和输出方程的求解
离散时间系统状态方程和输出方程的求解
※ 时域求解状态方程和输出方程 ※ z域求解状态方程和输出方程 ※ 状态方程和输出方程的Matlab求解
x[k] u[k]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
求解输出方程： y[k] Cq[k] Dx[k]
k=0代入得：
y[0] Cq[0] Dx[0]
k=1代入得：

1

2
5 2
0

3

13
4

y[1] Cq[1] Dx[1]
k=2代入得：
k=1代入得：
0


1
6
1 5 6

2 3

0
1

1
3

19

6
q[2] Aq[1] Bx[1]
k=2代入得：
0


1
6
1 5 6

3
19 6


0
1

1
19
1613 36
1
5

6
q1[k ] q2 [k ]

0 1
x[k ]
y1[k]

y2
[k
]

1

2
5 q1[k]
0

q2 [k ]
系统状态变量的初始状态及系统输入为：
q1[0] q2[0]

2
3

x[k] u[k]