__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案号位座注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚；线2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )；3．考试形式：开（闭）卷；4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。

题号一二三四五总分业得分专评卷人) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。

题封答1．设矩阵A为2 2矩阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是院不内【】学线封密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB(2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】A. 矩阵 A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=13.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】nC. －2nA. －2 D. 1B. －2号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2姓C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 16.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是【】A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 07．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关D.A 的列向量组线性无关a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有【】a 1 a 2B.a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0A.b 1 b 20C.b 2b 3D.b 2 b 3b 1b 1 b 29.方程组2x 1x 2 x 3 1x 1 2x 2 x 31 有解的充分必要的条件是【】3 x 1 3x 2 2 x 3a 1A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系， 则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【 】A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 311. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0 ，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解， 也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有 n 个【】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是【】nA. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0}B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0}C. {( a 1, a 2 ,, a n ) | a i z,i 1,2, , n}D. {( a 1 , a 2 , i n11}, a n ) |a i1 0i 114.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B- 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵2【 】1 0 -1 00 0 -1A.4B.- 4 C.4D.1 1 - 2- 2 - 41 015.若矩阵 A0 2 a0 a 8正定 ,则实数 a 的取值范围是【 】A ． a < 8B. a ＞ 4C ． a ＜ -4D ． -4 ＜ a ＜ 4二、填空题 （每小题 2 分，共 20 分）。

16．设矩阵17．设矩阵A1 -1 32 0 2 0 , B0 , 记 A T 为 A 的转置，则 A T B =。

11A1 2 则行列式 det( AA T )的值为 .2 13 4 8的值为 .18．行列式 5 9 1 7 2 619．若向量组 a 1 ( 1, 2, 3 ), a 2 ( 8, t, 24 ), a 3 ( 0, 0, 1 ) 线性相关，则常数t =.20.向量组（ 10，20），（ 30， 40）， （ 50， 60）的秩为 .21.齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 02x 1 x 2 3x 3的基础解系所含解向量的个数为22.已知 x 1(1, 0, 2)T 、 x 2 (3,4, 5)T 是 3 元非齐次线性方程组 Ax b 的两个解向量，则对应齐次线性方程Ax 0 有一个非零解=.1 2 323.矩阵 A0 2 3 的全部特征值为。

0 324．设λ是 3 阶实对称矩阵 A 的一个一重特征值， ξ1(1, 1, 3 )T 、 ξ2 ( 4, a, 12 ) T 是A 的属于特征值λ的特征向量，则实常数 a=.25.二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3) x 12 4x 1 x 2 4x 22 8x 1 x 3 x 32 对应的实对称矩阵 A=.三、计算题 （，共 50 分）0 3 4 5- 3 4 1025．计算行列式的值。

0 2 2- 26 - 27 21 1 126．设A0 1 1 ,且A2 AB E ,其中E是三阶单位矩阵,求矩阵B。

0 0 1x1 2x2 327． a 取何值时，方程组4x1 7x2 x3 10 有解在有解时求出方程组的通解。

x2 x3 a28．设向量组a1, a2 , a3线性无关。

试证明：向量组1a1a2a3 ,2a1a2 ,3a3线性无关。

29．试证向量组a1(1,0,1),a2(1,1,0), a3(0,1,1)为R3的一组基，并求向量x (2,2,2)在该组基下的坐标。

2007 线性代数考试试题B---------- 参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共20 小题，每小题 2 分，共 40 分）14. C15. D二、填空题（本大题共10 空，每空 3 分，共 30 分）0 316. 00 17. 918. -36019. 1620. 20 421. 122.(2,4,3) T (或它的非零倍数 )23. 1 、 2、31-2 4 24. 425. -24 041三、 算 （每小6 分，共 30 分）0 3 4 53 4 53 4 126.D3 2 2 - 2 ⋯⋯⋯⋯4分96. ⋯⋯⋯⋯8分0 2 2269 20 6 9 227. 解:由于 A 2AB E ,因此 ABA 2 E ,又 A1 0 ,故 A 可逆 , ⋯⋯2 分所以1 1 1 1 1 10 2 2⋯⋯8 分B A A10 1 10 1 1 0 0 20 0 110 028．1 23故当且 当 a=2 ，有解。

⋯⋯⋯⋯2分A0 -1 1-2 ,0 0 0 a-2当 a 2 ，得x 1 3 2x 2x 32( x 是任意），x 232所以 x0 k 1 ( k 是任意常数 ) ⋯⋯⋯⋯8分或21x 1 1 2 x 3 ( x 3 任意 ), 即 12⋯⋯⋯⋯分x 22 x3 8x2 k 1 ( k 是任意常数 ).129． 一： 有一 数 x 1 , x 2 , x 3 使 x 1 1x 22x 330, ⋯⋯⋯⋯2分即 (x 1x 2 )a 1 (x 1 x 2 )a 2 (x 1x 3 )a 3 0由 a 1 , a 2 , a 3 性无关，有x 1 x 2 0x 1 x 20 ⋯⋯⋯⋯2分x 1x 3 0方程 只有零解x 1 x 2 x 3 0 故 1, 2, 3 性无关。

⋯⋯⋯⋯6分证二：因 a 1 , a 2 , a 3 线性无关， 1 , 2 , 3 用 a 1 , a 2 , a 3 线性表出的系数行列式1 1 111 - 1 10 故线性无关。

（若只证明△≠ 0，不强调 a 1 , a 2 , a 3 线0 2 00 1 - 11性无关这一条件 ,就得出 1 , 2 , 3 线性无关的结论，扣 2 分）。

故命题得证。

8 分30．证明：令1 1 0 1 1 0 1 1 00 1 1 ，则 0 1 1 0 1 1 2 0 ，故向量组 1 0 11 0 10 0 2a 1 (1,0,1), a 2 (1,1,0), a 3 (0,1,1) 为 R 3的一组基，4 分又设 x x 1 1x 2 2x 3 3 ，得线性方程组x 1 x 2 2 x 2 x 3 2x 1x 32解之得向量 x (2,2,2) 在该组基下的坐标为 x (1,1,1)。

8分。