yx
(k
1)
0
yx (k) C(0.9)k
得C=0.9,故 yx (k ) (0.9)k1
(2) 求单位序列响应。
h(k) 0.9h(k 1) 0.05 (k)
h(k) 0 k 0
利用等效初值法，可求得 h(k) 0.05(0.9)k U (k)
(7-32)
卷积和的性质：
1、交换律、结合律和分配律
（x11[n）]交x2换[n律] m x1[m]x2[n m]
x2[xm1[n]x]1[nx2[nm]] x2[nx]1[mx1][xn2][n m]
m
m
（2）结合律
x1[n]x2[n] x3[n] x1[n] x2[n] x3[n]
f (k) (k m) f (m) (k m)
2. 单位阶跃序列
U(k)
U
(k)
1 0
k 0 k 0
1
(7-10)
k -1 0 1 2 3 4
图 7-6
单位阶跃序列和单位序列的关系
U
(k)
(k
)
n
U
k
(k) (n)
U (k
m0
1) (k
m)
(7-11)
3. 单位矩形序列(门序列)
第六章 离散信号与系统时域分析
◆ 离散时间信号的定义以及典型的离散信号； ◆ 差分方程的建立与经典解法； ◆ 离散系统的单位样值响应； ◆ 零输入响应和零状态响应的概念； ◆ 如何求零输入响应； ◆ 如何利用卷积的方法求零状态响应
6.1 离散信号 一、离散时间信号 1、定义：
如果信号仅在一些离散的瞬间具有确定的数值， 则称之为离散时间信号。
试判断这三个系统各为哪类系统。
解: (1) 因激励与响应之间满足齐次性和叠加性，即 T{af (k)} akf (k) aT{ f (k)} ay(k)
T{ f1(k) f2 (k)} kf1(k) kf2 (k) y1(k) y2 (k) 但激励与响应之间不满足时不变性，即
T{ f (k)} kf (k) y(k)
4
f(k) 1/E
1/E
1/E
1/E
2 -2 2 -1
图 7 - 19
1 y(k)
2．非齐次差分方程
自由项 C(常数)
n nk
en (为实数)
e jn
特解形式 B（常数）
C0 C1n C0 C1n C2n2 ... Ck1nk1 Ck nk
Ce n
Ae jn ( A为复数)
sin n(或cosn)
y(k) yx (k) y f (k)
解得：
y(k) 2 fx (k) 2y f (k) 12(2)k 10(3)k
〔例6.1.5〕：电阻梯形网络
v[0] v[1] v[2]
R R R
E
RR
v[N-2] v[N-1] v[N]
RR R
v[0]=E,v[N]=0,试写出节点电压的差分方程。
y(k)
f(k)
1/E
1
1/E
1/2
解： 由图可得系统的差分方程为
y(k) y(k 1) 1 y(k 2) f (k) 2
f (k) (k)
h(k) h(k 1) 1 h(k 2) (k)
2
h(k) 0 k 0
由迭代法可知等效初始值为
当k＞1时，有
对应的特征方程为 2 1 0
(a)
f(k) 6
5 4 3 2 1
k -1 0 1 2 3 4 5
(b)
2、离散时间信号的时域运算
（1
： f(k)=f1(k)+f2(k)
（2） 相乘 ： f(k)=f1(k)f2(k)
（3
：
y(k) af (k) (7-3)
k
（4
y(k) f (i) (7-4)
i
3、离散时间信号的时域变换
或： 6E 1 17 E 2 19 E 3
H (E) 1 8E 1 17 E 2 10 E 3
f(k)
6 17
1/E
1/E
1/E
-8 -17 -10
图 7 - 18
19
y(k)
6.2 离散系统时域分析经典法 一、差分方程时域经典求解
1．齐次差分方程
an y(k) an1 y(k 1) a1 y(k n 1) a0 y(k n) bm f (k) bm1 f (k 1) b0 f (k m)
n
x[n]u[n] x[m]u[n m] x[m]
m
m
4、卷积和的计算：
（1）图解法 y[n] x[m]h[n m] m
反褶、平移、相乘、求和四个步骤：
列表法
三、离散卷积和分析
对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列， 单位序列响应为,则激励与系统零状态响应之间有如下关系：
不满足叠加性。
y(k m) T{ f (k m)} f (k m)
激励和响应之间满足时不变性， 故此系统为非线性时不变系统。
(3) 由给出的输入输出关系可知此系统是一个线性时 不变离散时间系统。
解 :设系统零输入响应为yx(k)，零状态响应为yf(k)，则根 据线性时不变系统的特性，响应
（1
y(k) f (k m) m为大(于7-零5)的整数。
y(k)=f(k-2)
f(k)
1.5
1
0.5
0.5
-1 0 1 2 3 4 5 (a)
k y(k)=f(k+2)
1.5
11
0.5
0.5
-1 0 1 2 3 4 5 (b)
1.5
1
1
0.5
0.5
k
k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
(c)
an(a不是特征根)
C1 cosn C2 sin n
C n
an(a是r重特征根)
(C0 C1n C2n2 L Cr 1nr 1 Cr nr )an
y(k) 2 (1)k (2)k 1 (2)k , k 0
3
3
二、离散时间系统的响应的分解方式 1 2、 自由响应和强迫响应 3
y f (k) f (i)h(k i) f (k) h(k) i
(7-37)
〔例6.4.2〕 描述离散时间系统的差分方程为
y(k) 0.9y(k 1) 0.05U (k)
已知y(-1)=1,求系统全响应y(k)。
解:(1) 求零输入响应yx(k)。
yx yx
(k) 0.9 (1) 1
（3
若 y(k) T{ f (k)}
y(k m) T{ f (k m)} (7-18)
（4 如果系统响应总是出现在激励施加之后，则该
系统称 若已知k≥0时三个系统的响应分别为：
(1) y(k)=kf(k)；
(2) y(k)=|f(k)|；
(3) y(k)=2f(k)+3f(k-1)。
图 7- 3
（2）折叠 （3）倒相 （4）展缩
y(k) f (k)
y(k) f (k) y(k) f (ak)
(7-6)
(7-7) (7-8)
需要注意的是，对f(k)进行展缩变换后所得序列 y(k)可能会出现k为非整数情况，在此情况下舍去这些 非整数的k及其值。
〔例6.1.1〕：若x(n)的波形如图所示，求x(2n) x(n/2)的波形。
6.3 离散系统的单位序列响应
对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列 δ(k)时，其系统的零状态响应h(k)称为单位序列响应。 一、迭代法： 是一种递推法，一个不断迭代过程，称之为迭代法
对于一阶系统
y(k) a0 y(k 1) y(k) 0 k 0
f (k)
f (k) (k)
an y(k) an1 y(k 1) a1 y(k n 1) a0 y(k n) 0 称之为齐次差分方程
y(k) [(2)k 2(3)k ]u(k)
〔例6.2.2〕 图所示离散时间系统的模拟框图。当 f(k)=0, y(1)=1, y(2)=0, y(3)=1, y(5)=1时，求 y(k)。
解：
根据KCL，对于节点k,有：
u(k 1) u(k) u(k) u(k) u(k 1)
R1
R2
R1
整理后可得： u(k 1) (2 R1 )u(k) u(k 1) 0
R2
或：
u( k ) ( 2 R1 )u( k 1 ) u( k 2 ) 0 R2
五、 离散时间系统的模拟 1、基本运算单元
1 0 k N 1 GN (k) 0 其他
4. 单边实指数序列
GN(k)
1
k -1 0 1 2 3 N-1 N
图 7-7
ak k 0 f (k)
0 k 0
( a为实数) (7-13)
f(k)=ak U(k) |a|>1
f(k)=ak U(k) |a|<1 1
1
k -1 0 1 2 3 4 5
2
2
k -1 0 1 2 3 4 5 6 7
图 7 - 21
f (k) 2 (k 1) 4 (k 2) 6 (k 3) 4 (k 4) 2 (k 5)
二、 卷积和 设两个离散时间信号为f1(k)和f2(k) ，定义
f1(k)与f2(k)的卷积和运算为
f1 (k ) f 2 (k ) f1 (i) f 2 (k i) i
k -1 0 1 2 3 4 5
(a)
(b)
图 7-8
5. 正弦序列
f(k)
f (k) Asin(k0 )
E
345
(7-14)