第一讲：因式分解一提公因式法【知识要点】1、分解因式的概念把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。

2、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是的恒等变形。

3．分解因式的一些注意点（1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止；（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。

4．公因式多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的.5.提公因式法如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.6.确定公因式的方法(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为;(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为.【学堂练习】1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是? (1))11(22xx x x +=+;(2)1)5)(5(22--+=-a a b a (3)22))((n m n m n m -=-+(4)22)2(44+=++x x x(5))23(232y x x x xy x -=+-(6)32)1)(3(2--=+-x x x x2．把下列各式分解因式（1）a ab a 3692+-（2）4324264xy y x y x +-- 例1、把下列各式分解因式（1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----（3）32)2()2(2x y b y x a -+-（4）32)3(25)3(15a b b a b -+- （5）432)(2)(3)(x y x y y x -+---（6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+例2．利用分解因式计算（1）5.12346.45.12347.115.12349.2⨯-⨯+⨯（2）9910098992222--例3．已知2,32==+ab b a ，求代数式22222ab b a b a ++的值。

例4、利用因式分解说明：127636-能被140整除。

【随堂练习】1．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（）A 、2))(1(2-+=+-a a b a aB 、)1)(1(22y x y x y x -+=1-C 、))((y x y x y x -+=-D 、2)2(4)4(+=++m m m2．已知二次三项式c bx x ++22分解因式)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（）A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c bD 、6,4-=-=c b3．下列各式的公因式是a 的是（）A 、5++ay axB 、264ma ma +C 、ab a 1052+D 、ma a a +-424．将)()(3y x b y x a ---用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（）A 、b a -3B 、)(3y x -C 、y x -D 、b a +35．把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式的结果为（）A 、))(2(2m m a +-B 、))(2(2m m a --C 、)1)(2(--m a mD 、)1)(2(+-m a m6．多项式xy y x -22的公因式是；多项式是323296c ab b a -的公因式是。

7．分解因式：2xy xy -=。

333)()()(n m m n b n m a -=---（）。

8．已知：1000,133==+ab b a 。

22ab b a +的值为。

9．把下列各式分解因式（1）2222262ab b a b a +- （2）32223229123bc a c b a bc a ++-（3）)()(y x b y x a --- （4）)()(22y x x x y ---【课后强化】1．432-+mx x 分解因式为)1)(43(-+x x ，则m 的值为。

2．xy nxy mxy xy 3963-=+--（）=---+-)()()(a x c x a b a x a 。

3．把下列各式分解因式（1）xyz xy y x 126322+- （2）)(6)(32x y x y x x -+-（3）23)(4)(2x y y x -+- （4）2)())((b a a b a b a a +--+第二讲：因式分解—公式法、分组分解法1．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++2.常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-；②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。

【学堂练习】1、如果2592++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（）A 15B 15±C 30D 30±2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +-- 3、把下列各式分解因式：（1）224b a - （2）2916a -（3）11622-y x（4）36122+-m m （5）2241y xy x +-（6）222y xy x -+- （7）22x y ax ay -++（8）42469x a a ---【经典例题】例1．用公式法分解因式：（1）222224)(b a b a -+（2）22)3()2(--+y x （3）4422+-ab b a （4）16824+-x x(5)22)2(25)1(16+--x x (6)9)(6)(222+-+-x x x x分组分解法掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法 分组后能运用公式（一三分组）y x y x +--221222-+-y xy x a 2－b 2－c 2＋2bc 分组后能提公因式（二二分组）ax ＋ay ＋bx ＋byab －c ＋b －ac练习：把下列多项式分解因式：1.（1）1a b ab +++（2）a 2－ab ＋ac －bc2.（1）27321x y xy x +++（2）263ac ad bc bd -+-3.（1）22926a b a b -+-（2）2242x x y y +--4.（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2（2）2229124c bc b a -+-课外延伸1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（）A ．1种B .2种C .3种D .4种2.用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是（）3．填空：（1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－()=()()（2）x 2－2y －4y 2＋x =()＋()=()()（3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc =()－()=()()4．用分组分解法分解因式（1）44ax ay x y --+（2）229816a ab b -++（3）b a b a 4422+--（4）222222a b c d ad bc --+--5．用合适的方法分解因式：（1）424255b m a m - （2）222231212m n m n m +- （3）)()(422m n b n m a -+-（4）)(12)(9422n m m n m m ++++6．利用分解因式计算：（1）433.1922.122⨯-⨯ （2）2298196202202+⨯+7．若3223,2,3b ab b a a ab b a +++-==+求值。

【随堂练习】1．对于多项式5321x x x -+-有如下四种分组方法：其中分组合理的是（）①532()(1)x x x -+-②523()(1)x x x +-+③532()1x x x -+-④532(1)x x x --+A ．①②B．①③C．②④D．③④2.△ABC 的三边满足a 4+b 2c 2-a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是__________.3.已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++。

4、分解下列因式：（1）－3x 3－12x 2＋36x （2）2224)1(x x -+（3）m mn n m 222--+（4）a 2＋2ab ＋b 2－a －b)2().()2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--5、计算：（1）2004200220032⨯- （2）1198********2++- 【课后强化】（1）282-x （2）22916b a -（3）b a ab b a 232-+（4）2224)1(x x -+（5）222y xy x y x +-+-第三讲因式分解——十字相乘法十字相乘法一、q px x ++2型的二次三项式因式分解：（其中p a b =+，q ab =）一、利用十字相乘法将下列各式因式分解（1）、x 2＋7x ＋6（2）、x 2－5x －6（3）、x 2－5x ＋6（4）、a 2－4a －21（5）、t 2－2t －8（6）、m 2＋4m －12（7）、342+-x x （8）、762-+x x （9）13122--x x（10）、11102--a a （11）、1582++x x （12）、x 2－7x ＋6（13）、x 4＋5x 2－6（14）、m 4－6m 2＋8（15）、x 4＋10x 2＋9（16）、4)(3)(2-+-+b a b a （17）、12)2(8)2(2+---y x y x（18）、24)5(10)5(222++++x x x x （19）、()()242112222+---x x x x 二、二次三项式c bx ax ++2的分解：如果二次项系数a 分解成1a 、2a ，常数项c 分解成1c 、2c ；并且1221c a c a +等于一次项系数b ， 那么二次三项式：借助于画十字交叉线排列如下：二、利用十字相乘法将下列各式因式分解1．把下列各式分解因式（4）9m 2－6m ＋2n －n 2（5）4x 2－4xy －a 2＋y 2（6）1―m 2―n 2＋2mn（7）432-+m m （8）302-+x x （9）1522--x x（10）24102-+x x （11）24142+-x x （12）x 2＋xy －12y 2（13）x 2－13xy －36y 2（14）a 2－ab －12b 2（15）362132++x x（16）12724++x x （17）2282y xy x -+（18）2234b ab a ++◆因式分解的一般步骤：一提二代三分组①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；xy x y x 21565)1(2--+1243)3(22--+a x ax b a ab a 3217)2(2--+④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。