初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值． 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式 中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解 决． 解2 2由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以22x +ax+b=x -x-2， 从而得出 a=-1，b=-2， 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3． 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法． 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab． 此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)． 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首2 2 2 2先， 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式 分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积． 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能丢掉． 本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另 一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和， 其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢． 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y． 将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提2 2取 x+y 即可． 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)． 点评 例4 分析3注意添、去括号法则． 因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可6 3 2 2 3 2 6看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分 解． 解6方法一3 264x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二2 2 3 3 3 364x -1=(4x ) -1 =(4x -1)(16x +4x +1) =(2x+1)(2x-1)(16x +8x +1-4x ) =(2x+1)(2x-1)[(4x +1) -(2x) ] =(2x+1)(2x-1)(4x +2x+1)(4x -2x+1) 点评 在分解因式时，尽管采用的方法不同，但结果应是相同的．本2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 262 3题的两种解法，显然第一种方法比较简单．点评分解因式时，应首先考虑各项有没有公因式，如果有公因式，一定先提公因式，然后再考虑能否用其它方法继续分解．本题如果先 提 2，应如何分解？ 例6 分析 因式分解(x+y) -6(x+y)+9． 可将 x+y 当作一个整体， 此多项式便是关于这个整体的二次三2项式，显然它可用完全平方公式分解． 解 (x+y) -6(x+y)+92 2 2=(x+y) -2×3×(x+y)+3 =(x+y-3) ． 点评2在运用公式分解因式时，一定要掌握公式的特点，尤其要注意完全平方公式中一次项系数的特点． 例7 分析 因式分解x +6x-7． 这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常2数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所 以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解．另 外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解． 解2方法一2 2x +6x-7=x +6x+9-9-7=(x+3) -16 =(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1) 方法二 x +6x-7=(x+7)(x-1)2点评方法一叫配方法．用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为 1（如果二次项系数不是 1，则提取这个系数，使二次项系 数转化为 1） ；其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的 平方，这样便达到配方的目的．在用十字相乘法分解二次三项式时， 主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项． 例8 分析 因式分解 3x -7x-6． 本题二次项系数不是 1，如果用配方法分解，则应首先提取二2次项系数 3，然后再加、减一次项系数一半的平方；如果用十字相乘 法分解，既要考虑好首尾两项的分解，更要考虑到十字相乘后的代数 和应是中间项（即一次项） ． 解 方法一方法二3x -7x-6=(3x+2)(x-3)．2点评用十字相乘法分解因式，在排列算式时，应想到同行不应有公因式（如本题二次项所分出的 3x与常数项所分出的 3 不能放在同行， 只能与分解出的另一个因式 2 放在同行）这是因为，如果同行有公因 式， 此公因式在开始分解时就应提出． 掌握这一点会简化操作过程． 从 上述两例可以明显看出，在有理数范围内分解二次三项式ax +bx+c用 十字相乘法比较方便，但随着数的范围的扩大，就看出配方法的重要 了．于是便出现这样的问题：在分解二次三项式ax +bx+c时，何时用 公式法？何时用十字相乘法？何时用配方法？我们可用b -4ac的结 果来判别： b -4ac=0 时，用完全平方公式分解； b -4ac＞0 且是一个完全平方数时，用十字相乘法分解； b -4ac＞0 但不是完全平方数时，用配方法分解； 在有理数范围内和将来学到的实数范围内都不能分解． b -4ac＜0 时， 至于为什么可用b -4ac的结果来作上述判断，这个问题在今后的学习 中会得到解决．2 2 2 2 2 2 2 2例9 分析因式分解 2ax-10ay+5by-bx． 用分组分解法．可将一、二两项和四、三两项分别作为一组，这样不仅每组可分解，而且确保继续分解． 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by =(2ax-10ay)-(bx-5by) =2a(x-5y)-b(x-5y) =(x-5y)(2a-b)． 点评 本题还可以一、四两项一组，二、三两项一组，但不能一、三项和二、四项分组，可见分组要恰当．分组是否恰当，以能否达到因 式分解的目的为标准．所以，分组后各组系数成比例则是恰当分组的 重要条件． 例 10 因式分解：2 2（1）x -2xy+y -1 分析（2）x -2y-y -122这两小题都不能平均分组，因为平均分组后，各组系数不可能成比例，从而达不到因式分解的目的，但经过观察可知，如果将（1） 题前三项和第四项分组，将（2）题第一项和后三项分组，则可先用 完全平方公式继而用平方差公式将其分解． 解2（1）x -2xy+y -1222=(x -2xy+y )-1 =(x-y) -1=(x-y+1)(x-y-1) （2）x -2y-y -1=x -y -2y-12 2 2 2 2=x -(y +2y+1) =x -(y+1) =(x+y+1)(x-y-1) 点评 在分解四项式时，也应首先考虑是否有公因式，如果有，要先2 222提公因式然后再考虑分组，在分组时，又有两两分组、一三分组和三 一分组三种不同分法，这就需要做到具体问题具体分析．对某些特殊 的四项式也可直接用完全立方公式分解，即a ±3a b+3ab ±b =(a± b) ．对五项式或五项以上的多项式也采用分组分解法． 例 11 分析 因式分解x +4xy+3y +x+3y． 本题的前三项可以分解为(x+y)(x+3y)，其中(x+3y)正好与后2 2 3 3 2 2 3两项完全一样，所以本题作三二分组，问题便得到解决． 解2x +4xy+3y +x+3y222=(x +4xy+3y )+(x+3y) =(x+y)(x+3y)+(x+3y) =(x+3y)(x+y+1)． 例 12 因式分解：2 2（1）a +2ab+b +2a+2b+1， （2）a +2ab+b +2a+2b-3， （3）a +3ab+2b +2a+b-3． 分析 这三道题都不能平均分组，经观察，它们都可以三二一分组，2 2 2 2分组后， （1）题可经过两次完全平方公式分解， （2）题可经过一次公 式和一次十字相乘分解，而（3）题则可经过两次十字相乘分解． 解 （1）a +2ab+b +2a+2b+12 2=(a +2ab+b )+(2a+2b)+1 =(a+b) +2(a+b)+1=(a+b+1) ． （2）a +2ab+b +2a+2b-3 =(a +2ab+b )+(2a+2b)-3 =(a+b) +2(a+b)-3 =(a+b+3)(a+b-1)．2 2 2 2 2 2 222（3）a +3ab+2b +2a+b-3 =(a +3ab+2b )+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =(a+b-1)(a+2b+3)．2 222例 132已知 4x +4xy+y -4x-2y+1=0，求证：2222x +3xy+y -x-y=0 分析 要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式．若分解后的因式中有一个值为零， 则原多项式的值为零． 经过分组分解， 可知 2x +3xy+y -x-y=(x+y)(2x+y-1)，若x+y或 2x+y-1 为零，则原多 项式的值为零．为达此目的，就要从条件入手． 证明 因为 4x +4xy+y -4x-2y+1=0，所以2 2 2 2 2(2x+y) -2(2x+y)+1=0， (2x+y-1) =0． 所以22x+y-1=0． 又因为 2x +3xy+y -x-y=(x+y)(2x+y-1)． 而 2x+y-1=0， 所以 2x +3xy+y -x-y=0． 例 14 已知 3x -4xy-7y +13x-37y+m能分解成两个一次因式的乘积，2 2 2 2 2 2求m的值．并将此多项式分解因式． 分析 根据因式分解的概念和乘法法则可知， 原多项式所分解得的两个因式必然都是三项式，而原多项式的前三项可分解为 (3x-7y)(x+y)，于是可设原多项式分解为(3x-7y+a)(x+y+b)，再根据 恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决． 解 设 3x -4xy-7y +13x-37y+m2 2=[(3x-7y)+a][(x+y)+b] =3x -4xy-7y +(a+3b)x+(a-7b)y+ab． 对应项系数相等，所以2 2由（1） （2）解得 a=-2，b=5．将 a=-2，b=5 代入（3） ，得 m=-10， 所以 3x -4xy-7y +13x-37y+m2 2=3x -4xy-7y +13x-37y-10 =(3x-7y+a)(x+y+b) =(3x-7y-2)(x+y+5)． 例 15 分析 已知｜x-3y-1｜+x +4y =4xy，求x与y的值． 在通常情况下， 由一个方程求两个未知数的值， 条件是不够的，2 222但在特殊条件下又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零 的性质．本题已有一个明显的非负数，即｜x-3y-1｜，而另一个非负 数可由因式分解得到．于是问题能够解决． 解 因为｜x-3y-1｜+x +4y =4xy，所以2 2 2 2｜x-3y-1｜+x -4xy+4y =0 即 ｜x-3y-1｜+(x-2y) =0 所以2解这个方程组，得 x=-2，y=-1． 例 16 因式分解：4 4（1）x +4y ； 分析（2）x +5x-6．3这两个多项式既无公因式可提， 也不能直接用公式或直接分组2 2 2 2分解．经过观察： （1）题若加上 4x y ，随之减去 4x y ，这样既保证 多项式的值不变， 又可先用完全平方公式继而用平方差公式分解． 2） （ 题如果将 5x拆成-x+6x便可分组分解．或者，将-6 拆成-1-5 也可分组分解． 解2（1）x +4y =x +4x y +4y -4x y2 2 24442 242 2=(x +2y ) -(2xy)2 2 2=(x +2xy+2y )(x -2xy+2y )． （2）x +5x-6=x -x+6x-6 =(x -x)+(6x-6) =x(x+1)(x-1)+6(x-1) =(x-1)(x +x+6) 点评 例 17 分析 若将-6 拆成-1-5，应如何分解？ 已知x -2xy-3y =5，求整数x和y的值． 原式左端可分解为两个一次因式的乘积，由题意可知，这两个2 2 2 3 3 32因式都表示整数，这样只能是一个因式为 1（或-1） ，而另一个因式 为 5（或-5） ．于是便可列出方程组求出 x 和 y 的值． 解 因为x -2xy-3y =5，所以2 2(x-3y)(x+y)=5． 依题意 x，y 为整数，所以 x-3y 和 x+y 都是整数，于是有：解上述方程组得：例 18已知 A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49（x 为整数） ，求证：A 为一个完全平方数．证明2因为 A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+492=(x -x-6)(x -x-20)+49 =(x -x) -26(x -x)+169 =(x -x-13)2 2 2 2 2所以 A 是一个完全平方数．。