因式分解 例题讲解及练习【例题精选】：（1）3223220155y x y x y x ++ 评析：先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X ，各项都有时，再确定X 的最低次幂是几，至此确认提取X 2，同法确定提Y ，最后确定提公因式5X 2Y 。

提取公因式后，再算出括号内各项。

解：3223220155y x y x y x ++=)431(522y xy y x -+ （2）23229123y x yz x y x -+- 评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X 2Y解:23229123y x yz x y x -+- =)3129(2223y x yz x y x +-- =)43(32223y x yz x y x +--=)1423(32+--xy y x（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)评析：在本题中，y-x 和x-y 都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-x解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)（4） （4） 把343232x y x -分解因式评析：这个多项式有公因式2x 3，应先提取公因式，剩余的多项式16y 4-1具备平方差公式的形式解：343232x y x -=2)116(43-y x =2)14)(14(223+-y y x =)14)(12)(12(223++-y y y x （5） （5） 把827xy y x -分解因式评析：首先提取公因式xy 2，剩下的多项式x 6-y 6可以看作2323)()(y x -用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。

对于x 6-y 6也可以变成3232)()(y x -先运用立方差公式分解，但比较麻烦。

解：827xy y x -=xy 2(x 6-y 6)= xy 2[2323)()(y x -]=))((33332y x y x xy +- =))()()((22222y xy x y x y xy x y x xy +-+++-（6）把2236)(12)(z z y x y x ++-+分解因式评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。

对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a ，（6Z ）换公式中的解：2236)(12)(z z y x y x ++-+=22)6()6)((2)(z z y x y x ++-+=(x+y-6z)2 （7） （7） 把42222222)2(2)2(21y y y x y x +---分解因式评析：把x 2-2y 2和y 2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x 2-2y 2和y 2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。

解：42222222)2(2)2(21y y y x y x +--- =])2(2)2(2)2[(2122222222y y y x y x +∙--- =2222222)4(21)22(21y x y y x -=-- =22)2()2(21y x y x -+（8） （8） 分解因式a 2-b 2-2b-1评析：初看，前两项可用平方差公式分解。

采用“二、二”分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。

再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。

解：a 2-b 2-2b-1= a 2-(b 2-2b+1)=a 2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。

四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。

（9） （9） 把a 2-ab+ac-bc 分解因式解法一：a 2-ab+ac-bc=(a 2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二：a 2-ab+ac-bc=(a 2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) =(a-b)(a+c)（10） （10） 把y x xy x 33222--+分解因式解法一：y x xy x 33222--+=)32)(()(3)(2)33()22(2-+=+-+=+-+x y x y x y x x y x xy x 解法二：y x xy x 33222--+=))(32()32()32()32()32(2y x x x y x x y xy x x +-=-+-=-+-说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。

（2）题解法一 1：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是1：1，解法二是2：（-3）(11) 分解因式123+--x x x评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。

如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组解法一：123+--x x x=)1()1()1()(223---=+-+-x x x x x x=)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=+--=--x x x x x x x 解法二：123+--x x x =)1()1()1(2223---=+-+-x x x x x x =)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=-+-=--x x x x x x x 解法三：123+--x x x =)1()1)(1()()1(223+-+-+=+-+x x x x x x x x=222)1)(1()12)(1()1)(1(-+=+-+=-+-+x x x x x x x x x（12） （12） 分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c 2评析：本题将（a-b ）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c 2=[(a-b)2-2c(a-b)+c 2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)（13）分解因式8a 2-5ab-42b 2 8a -21b 解：8a 2-5ab-42b 2 a +2b=(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab（14） （14） 分解因式a 6-10a 3+16解：a 6-10a 3+16 a 3 -2=( a 3-2)( a 3-8) a 3 -8=( a 3-2)(a-2)(a 2+2a+4) -8a 3-2a 3 =-10a 3（15） （15） 分解因式-x 2+x+30解：-x 2+x+30 （先提出负号） x +5=-( x 2-x-30) x -6=-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x（16） （16） 分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1=[2(x+y)+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7=(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8（17）把2233y xy x y x ----分解因式评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。

本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是33y x -按立方差公式分解后的一个因式：解：2233y xy x y x ----=)()(2233y xy x y x ++--=)())((2222y xy x y xy x y x ++-++-=)1)((22--++y x y xy x （18） （18） 把122222+----x yz z y x 分解因式 评析：把122+-x x 看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。

解：122222+----x yz z y x=)2()12(222z yz y x x ++-+-=22)()1(z y x +--=)1)(1(z y x z y x ---++-（19）分解因式6)2)(1(22-++++x x x x评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是x x +2这一显著特点，我们不妨设x x +2=a 可得（a+1）（a+2）-6即a 2+3a+2-6，即a 2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）解：6)2)(1(22-++++x x x x=62)(3)(222-++++x x x x=4)(3)(222-+++x x x x =]1)][(4)[(22-+++x x x x =)1)(4(22-+++x x x x（20）把8)32)(42(22--+++x x x x 分解因式解：8)32)(42(22--+++x x x x =812)2()2(222--+++x x x x =20)2()2(222-+++x x x x =]4)2][(5)2[(22-+++x x x x=)42)(52(22-+++x x x x（21）把72)209)(23(22-+-++x x x x 分解因式评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有)5)(4)(2)(1()209)(23(22--++=+-++x x x x x x x x 。

它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x 2-3x ）解：72)209)(23(22-+-++x x x x=72)5)(4)(2)(1(---++x x x x=72)]5)(2)][(4)(1[(--+-+x x x x=72)103)(43(22-----x x x x=32)3(14)3(222----x x x x =]2)3][(16)3[(22+---x x x x =)1)(2)(163()23)(163(222----=+---x x x x x x x x（22）把2)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++分解因式评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a 2+6解：2)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++=2)]3)(2)][(6)(1[(a a a a a =++++=222)56)(76(a a a a a +++++=222222)66(36)6(12)6(a a a a a a ++=++++ （23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分别乘开就会出现9)158)(78(22-++++x x x x 的形式，这就不难发现（x 2+8x ）作为一个整体a 同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）-9的形式，展开后有a 2+22a+96，利用十字相乘616⨯aa，得到（a+6）（a+16）而分解。