第4章 机械振动基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。

简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。

3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。

4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν== 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。

弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+==8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。

9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。

周期性外力称为驱动力。

10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。

基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。

图表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（0ϕ=）。

为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t 曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。

2．简谐振动的合成若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+图 弹簧振子的动能和势能随时间的变化Ep E OOxkE 212E kA =tt合振动仍是一个角频率为ω的简谐振动。

合位移12cos()x x x A t ωϕ=+=+合振动的振幅A =合振动的初相11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+振动加强：212πk ϕϕϕ∆=-=±， (0 1 2,)k =L ，， 12A A A =+ 振动减弱：21(21)πk ϕϕϕ∆=-=±-， ( 1, 2, 3)k =L 12A A A =- 当21ϕϕ-取其他值时 1212A A A A A +>>-若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随时间周期性变化的振动。

若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。

一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。

若两个相互垂直的振动频率不相同，且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。

若两频率比为无理数，则合成运动轨迹永不封闭。

学习指导1．重点解析简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型： （1）已知简谐振动表达式求有关物理量（2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表达式cos()x A t ωϕ=+加以比较，结合有关公式求得各物理量。

对于类型（2）的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个特征量A 、ϕ、ω,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表达式。

图4-3图4-2其中角频率ω由系统的性质决定,2k mω=.振幅A 可由初始条件求出，2200v A x ω=+初相ϕ有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到0tan v x ϕω-=,这里ϕ有两个值，必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量图，这是求初相最简便且直观的方法。

例 如图4-2所示为某质点作简谐振动的曲线。

求该质点的振动方程。

分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量A 、ϕ、ω。

利用振动曲线可以看出2410A m -=⨯，t=0时刻，质点位移022x A =-，t=时，x=0。

利用这些信息可以确定ϕ、ω。

解：方法1 解析法 t=0时，022x A =-，于是有 02cos 2x A A ϕ==-解得：34ϕπ=±由t=0时刻对应的曲线斜率0dxdt>可知，所以质点速度00v >，即： 0sin 0v A ωϕ=->所以34ϕπ=-为求ω，先写出质点振动方程23410cos()4x t m ωπ-=⨯-将t=，x=0代入上式得3cos()024ωπ-=，同样结合该点的速度方向可以得到2πω=，所以质点的振动方程是图4-423410cos()24x t m ππ-=⨯-方法2：旋转矢量法由振动曲线可知，t=0时刻，质点位移02x A =-，质点速度00v >，对应的旋转矢量如图4-3所示，由图可知34ϕπ=-。

t=时，x=0，0v >。

此运动状态对应矢量OP ，即旋转矢量由t=0时的OM 经转至OP ，共转了4π，1140.52rad s rad s ππω--=⋅=⋅ 质点的振动方程是23410cos()24x t m ππ-=⨯-2．难点释疑 疑难点1 旋转矢量自Ox 轴的原点O 作一矢量A ，使它的模等于振动的振幅A ，并使矢量A 在Oxy 平面内绕点O 作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动的角频率ω相等，这个矢量就叫做旋转矢量。

如图4-4所示。

旋转矢量A 的矢端在Ox 轴上的投影点的运动，可表示物体在Ox 轴上的简谐振动。

旋转矢量A 与简谐振动的物理量之间的对应关系如表4-1所示。

表4-1 旋转矢量A 与简谐振动的物理量之间的对应关系图4-5旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。

但必须指出，旋转矢量本身并不在作简谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在作简谐振动。

问题：简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为4T吗走过该距离的一半所需的时间是8T 吗振子从平衡位置出发经历8T时运动的位移是多少 解析 从平衡位置运动到最远点对应旋转矢量图4-5中的角度变化是2π，所需的时间24T t πω∆== 振子的速度sin()v A t ωωϕ=-+不是常数，振子做变速直线运动，所以走过该距离的一半所需的时间不是8T 。

振子从平衡位置运动到2A处（OM 位置）时，振幅矢量转过了6π的角度，即612T t πω∆==即振子从平衡位置运动到2A 所用的时间是12T ，而不是8T 。

振子从2A运动到平衡位置所用的时间是36Tt πω∆==。

振子从平衡位置出发经历8T时运动的位移是2cos()cos()8242T x A A A ππω=-=-= 疑难点 2 当一个弹簧振子的振幅加倍时，则振动周期、最大速度、质点受力最大值和振动能量如何变化解析 弹簧振子的振幅一般由初始条件确定。

振幅加倍时，振动周期不变，因为对于给定的弹簧振子系统其周期是一定的，即2mT k=A ω，所以振幅加倍时最大速度也加倍，质点受力最大值为f=kA ，所以振幅加倍时受力最大值也加倍；简谐振动系统中机械能守恒为212E kA =，所以振幅加倍时振动能量变为原来4倍习题解答两根轻弹簧和一质量为m 的物体组成一振动系统,弹簧的劲度系数为k 1和k 2,串联后与物体相接,则此系统的固有频率为ν等于[ ] (A) ()π2//)(21m k k +)2π (C) ()π2)/(21k k m +(2)π 解析：正确答案（B ）两弹簧k 1和k 2串联后可等效为劲度系数k 的弹簧，设k 1和k 2的形变量分别为Δx 1和Δx 2，k 的形变量为 Δx ，则有Δx ＝Δx 1+Δx 2，亦即12111k k k =+ 1212k k k k k =+ 据此可确定系统的固有频率为)2νπ==把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。

若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为［ ］(A) π (B)π/2 (C) 0 (D)θ 解析：正确答案（C ）由已知条件可知其初始时刻的位移正向最大。

利用旋转矢量图可知，初相相位是0。

选（C ）用余弦函数描述一简谐振动。

已知振幅为A ，周期为T ，初相3πϕ=-，则振动1 2 习题图曲线为［ ］解析：正确答案（A ）由已知条件可知：初始时刻振动的位移是cos()32Ay A π=-=，速度是3sin()2v A t A ωωϕω=-+=，方向是向y 轴正方向，则振动曲线上t=0时刻的斜率是正值。

已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。

则此简谐振动的振动方程为： [ ]（A ）222cos()33x t ππ=+cm（B ）222cos()33x t ππ=-cm（C ）422cos()33x t ππ=-cm（D ）422cos()33x t ππ=+cm解析：正确答案（D ）由振动图像可知，初始时刻质点的位移是2A-，且向y 轴负方向运动，下图是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是23π，振动曲线上给出了质点从2A -到A 的时间是1s ，其对应的相位从23π变化到2π，所以它的角速度11224313rad s rad s πππω---=⋅=⋅。

简谐振动的振动方程为422cos()33x t ππ=+习题图习题图23πϕ=43πϕ∆=/x cmt =质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是[ ] (A) T /4 (B) T /2 (C) T (D) 2T 解析：正确答案（B ）质点作简谐振动的动能表达式是222k 1sin ()2E m A t ωωϕ=+，可见其变化的周期是简谐振动周期的12。

设某人一条腿的质量为m ，长为l ，当他以一定频率行走时最舒适，试用一种简单的模型估算出该人行走最舒适的频率应为[ ] （A ）12g l π（B ）1223g l π（C ）122g l π（D ）1322glπ解析：正确答案（D ）可以将人行走时腿的摆动当作复摆模型，这样人行走时最舒适的频率应是复摆的简谐振动频率。