高中数学选择填空压轴题精选(解析几何1)已知椭圆E ：22142x y +=,O 为坐标原点,A 、B 是椭圆E 上两点,且△AOB,则11||||OA OB +的最小值是 . 解法一（利用椭圆参数方程）设(2cos ), (2cos )A B ααββ,因为AOB S ∆=,所以12211||2AOB S x y x y ∆=-=,cos sin sin cos |αβαβ-=|sin()|1βα∴-=, cos()0βα∴-=,()2k k Z πβαπ=++∈,222222||||4cos 2sin 4cos ()2sin ()622OA OB ππαααα∴+=+++++=.下面求11||||OA OB +的最小值,有如下方法： ①均值不等式22||||||||32OA OB OA OB +⋅≤=,11||||OA OB ∴+≥≥=. ②平方平均大于等于调和平均21111a b a b≥⇒+≥+,11||||3OA OB +≥==. ③权方和不等式33322211122222221111(11)||||(||)(||)(||+||)OA OB OA OB OA OB ++=+≥==,当且仅当||||OA OB ==,等号成立,min 11()||||3OA OB ∴+=. ④权方和不等式+柯西不等式2211423||||||+||3122(||+||)OA OB OA OB OA OB +≥≥==. 点评:本解法利用椭圆的参数方程,得到了一个很重要的中间结论：|sin()|1βα-=. 一般地, 有如下结论：若11(,)A x y ,22(,)B x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上的动点, 且满足2AOB abS ∆=,则有：（1）22212x x a +=, 22212y y b +=；（2）22OA OBb k k a⋅=-. 解法二：（利用柯西不等式）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由12211||22AOB S x y x y ∆=-=得 2222222221221121212128()()()[82()]()x y x y x x y y y y y y =-≤++=-++,（当且仅当12120x x y y +=时等号成立）.22212(2)0y y ∴+-=,22122y y ∴+=又221124x y +=,222224x y +=,则22221122228x y x y +++=,22124x x ∴+=, 进而222212126x x y y +++=,221123||||3||||2OA OB OA OB ∴+≥==+当且仅当||||3OA OB ==,11||||OA OB +23.点评:本解法利用柯西不等式,实现等与不等的相互转化,相当精彩！解法三：（利用仿射变换,椭圆变圆）设伸缩变换2:2x x y τ'=⎧⎪⎨'=⎪⎩,则221x y ''+=,在该变换下,1122(,),(,)A x y B x y 的对应点分别为1122(,),(,)A x y B x y '''''', 而12211||2A OB S x y x y ''∆'''=-,122112211||2|2AOB S x y x y x y x y ∆'''=-=-, 所以12222AOB A OB A OB S S S ''''∆∆∆===,OA OB ''∴⊥,21||||x y ''∴=,21||||y x ''= ,2221x y ''∴=,2221y x ''=,22222222112211||||42426()6OA OB x y x y x y ''''''∴+=+++=+=, 33322211122222221111(11)||||3(||)(||)(||+||)OA OB OA OB OA OB +∴+=+≥==当且仅当||||OA OB ==,11||||OA OB +取得最小值3.点评:本解法利用仿射变换,椭圆变圆,关键是发现OA OB ''⊥.游数玩形,妙在转化！解法四：（齐次化）由12211||2AOB S x y x y ∆=-=及221124x y +=,222224x y +=,得22222122111222()(2)(2)x y x y x y x y -=++.(1)当直线OA 与OB 的斜率都存在时,两边同时除以2212x x ,得2222()(12)(12)OA OB OAOB k k k k -=++, 化简得2(21)0OA OB k k +=,12OA OB k k ∴=-,设:OA y kx =,则1:2OB y x k=-, 由222222244,121224A A y kx k x y k k x y =⎧⇒==⎨+++=⎩,22244||12k OA k +∴=+, 同理（将k 换成12k-）,得22228||21k OB k +=+,22|||| 6.OA OB ∴+=(2)当直线OA 或OB 的斜率为0或不存在时,也有22|||| 6.OA OB +=于是11||||OA OB +≥==当且仅当||||OA OB ==,等号成立, 因此11||||OA OB +.点评:本解法利用齐次化,得出OA 与OB 的斜率关系,接下来便顺理成章了.解法五：常规思路当直线OA 与OB 的斜率都存在时,设直线1:OA y k x =,直线1:OB y k x =,1122(,),(,)A x y B x y ,由221142x y y k x⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2121412x k =+,同理2222412x k =+.点B 到直线OA 的距离122212221111d k k ==++, 因为2AOB S ∆=,所以2212111212211111|||()|2221AOB S OA d k x x x k k k ∆=⋅=+⋅=-+,即122212||221212k k k k -=++,即2212122||(12)(12)k k k k -=++, 所以212(21)0k k +=,即1212k k =-. 下同解法四.点评:与上述方法相比,本解法相对复杂一些,熟悉以下二级结论的话,过程会大大简化.【结论】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A ,B 为椭圆C 上的动点,11(,)A x y ,22(,)B x y ,且满足22OA OBb k k a⋅=-,则有： （1）22212x x a +=,22212y y b +=,2222||||OA OB a b +=+；（2）2AOB ab S ∆=； （3）若M 为椭圆上一点,且OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r,则221λμ+=.相似题1(2011年山东卷理22题)已知动直线l 与椭圆22:132x y C +=交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点,且OPQ △ 的面积62OPQ S ∆=,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）（Ⅲ）略.答案：22123x x +=,22122y y +=.相似题2已知椭圆E ：2212412x y +=,O 为坐标原点,A 、B 是椭圆E 上两点,OA ,OB 的斜率存在并分别记为,OA OB k k ,且12OA OB k k ⋅=-,则11||||OA OB +的最小值是（ ） A.26 B.13C.23D.22答案：C.相似题3已知A ,B 是椭圆C ：221259x y +=上关于原点对称的两个点,P 、M 、N 是椭圆上异于AB 的点,且//AP OM ,//BP ON ,则MON ∆的面积为（ ）A.32 B. 32 C. 152 D.252答案：C.相似题4：如图所示,12,A A 分别是椭圆2212x y +=,的长轴的左右端点,O 为坐标原点,,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点,直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ,则22||||OS OT +等于（ ）A. 4B. 3C. 32D.52答案：B. 相似题5：在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>,其焦点到相应准线的距离为3,离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示,A ,B 是椭圆C 上两点,且射线OA ,OB 的斜率满足34OA OB k k =-,延长OA 到M ,使得OM ＝3OA ,且MB 交椭圆C 于Q ,设OQ OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r,求证： ①221λμ+=；②BMBQ 为定值.答案：5.。