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思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
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例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
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2
你复习了吗？
（一）向量的加法：
b
a
B
C
b
ab
O
a
A
平行四边形法则
B
ab
b
O
a
A
三角形法则
-
3
你复习了吗？
（二） 向量共线定理
若向 a (0 量 )与 b 共线则
-
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根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这 个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，
※平面向量基本定理：
如果e1、 e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
实数1、2，可使 a1e1 +2e2
不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内
用 O A 、 O B , 表示O P .
解： APtAB
P B
O P O A A P
OAtAB
A
O At(AO O B) O
O A tO A tO B (1t)OAtOB
本题的实质是：
已 知 O 、 A 、 B 三 点 不 共 线 ， 若 点 P 在 直 线 A B 上 ，
则 O P m O A n O B ,且 m - n 1 .
所 有 向 量 的 一 组 基 底 .-
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思考5 （1）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）原因：平面中不共线的向量非常多
（2）对于给定的基底，向量的表示形式唯一吗？ 唯一
(3)若 a = 0 ，定理还成立吗？ 成立
1 = 2 =0
00e10e2
-
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例 1 ： 已 知 向 量 e 1 , e （ 2 如 图 ） ， 求 作 向 量 - 2 . 5 e 1 3 e 2 . 作 法 :1.如 图 ， 任 取 一 点 O,作 OA2.5e1
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e1
e2
a
N A
B
C O
如 图 O C O M O N M
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e1+2e2
-
8
思考4：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2 表示吗？
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a
a=0e1+λ2e2
第二章 平面向量
第三节 平面向量的基本定理及坐标表示
第一课时 平面向量基本定理
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1
新疆 王新敞
奎屯
教学目的：
新疆 王新敞
奎屯
1．了解平面向量基本定理的证明．
2. 掌握平面向量基本定理及其应用：
新疆
王新敞
奎屯
①平面内的任何一个向量都可以用两个不
共线的向量来表示；
新疆 王新敞
奎屯
②能够在解题中适当地选择基底，使其它
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五、小结 本节学习了：
（1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个向量都可以用两个不共线
的向量来表示.即 a1e12e2
这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使 其它向量都能够统一用这组基底来表达.
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, OB3e2.
2.作 OACB.
则 ， O C 就 是 所 求 的 向 量
C
B
e1
e2
A-2.5e1
-
3e2
O
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例 2 :如 图 ， A B C D 的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 M ,且
A B a ， A D b ， 用 a 、 b 表 示 M A 、 M B 、 M C 和 M D .
三者有何相互关系？
F1
G
F2
那么平面内的任一向量能否用 两个不共线的向量来表示呢？
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5
探究：平面向量基本定理
e 思考1：给定平面内两个不共线向量
作向量2e
＋1 3e
？
2
1
，e
，如何求
2
e1
B
D
e 2
e1
O D=2e13e2
Oe
A
e e 2
思考2：若已知O D=2e13e2 ，能用
表示吗？
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1、 2