EMD原理和步骤
在EMD分解过程中，一个基本模式分量函数 需要满足如下两个条件：
(1)在整个数据序列中，极值点的数量与过零点的 数量相等，或最多相差不能多于一个。
(2)在任一时间点上，信号的局部最大值和局部最 小值定义的包络均值为零。 满足以上两个条件的基本模式分量被称为内蕴 模式函数(IMF)。
c1 (t ), c2 (t ), , cn (t ) 和 如此，最终可得到n个IMF， 余项 rn (t ) ，因此，原信号s(t)可表示为
s(t ) cn (t ) rn (t )
k 1
n
“端点效应”及其影响
在EMD分解中，求包络平均是通过对原数据 中的上极值点和下极值点分别进行样条插值拟合 然后再平均的，在样条插值时，除非数据的两个 端点处就是数据的极值点，否则就不能确定端点 处的极值点,会在样条插值时产生数据的拟合误差。
(t )
1 t
c
1
, 0, c 0
小波变换的含义
衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称 为“小”，所以称为小波。 对于任意函数 f t L2 R 的连续小波变换定义 为：
w f (a, b) f (t ) a ,b (t )dt a
MATLAB算法与塔式分解 • 系数分解的快速算法：
C j ,k hm 2k C j 1,m
m
d j ,k g m 2k d j 1,m
m
MATLAB中的小波及算法
• 系数重构的快速算法：
C j 1,k C j ,m hm 2k d j 1,m g m 2k
“端点效应”及其影响
除了样条拟合存在“端点效应”，希尔伯 特变换也有“端点效应”，这是因为用数字方法 实现的希尔伯特变换是基于傅氏变换的。由于第 一点和最后一点的数据值不同，傅氏变换时会出 现频谱泄漏，表现在时频谱图上便是端点效应， 影响时频分析的精度。为了减少泄漏，一般在傅 氏变换时采用加窗的方法,采用此方法会在端点 处影响有效数据，因此采用信号延拓的方法来减 弱希尔伯特变换的端点效应。


STFTx ( , ) x(t ) (t )e jt dt
时限 频限
小波变换的含义
设 t L2 R ，当 (t ) 满足允许条件时：
c


( ) d
2
称 (t ) 为一个“基小波”或“母小波”。
• • •
母小波的性质 母小波具有震荡性，即零直流分量 母小波及其生成的小函函数均为带通信号 母小波及其生成的小波函数均随t的延伸而快速衰 减
时移不变性 设 f (t ) 的小波变换为 CWT a ,b，则 f (t t 0 ) 的小波 变换为 CWT a ,bt 。
0
尺度变换特性 设 f (t ) 的小波变换为 CWT a ,b ，则 f (ct ) 的小波 变换为 1c CWT 。
ca ,cb
微分特性
m f (t ) m m CWTa ,b ( ) (1) f (t ) m a ,b (t )dt m t t
EMD背景简介
那么，能否找到一种基函数可以随着信号自 身的变化而变化呢？在此背景下，1998年Huang 等人提出了一种用来分析非平稳信号的基于经验 的模式分解算法(EMD)和基于Hilbert变换的时频 谱图。EMD是基于数据时域局部特征的，它可把 复杂的数据分解成有限的、通常是少量的几个内 蕴模式函数分量(Intrinsic Mode Functions, IMF)， 通过Hilbert变换对相位进行微分求解瞬时频率， 从而使得瞬时频率这一概念具有了实际的物理意 义。
i 1
即l个IMF和一个残差r.
EMD原理和步骤
对于一个给定的信号s(t),进行有效的EMD分解 步骤如下：
1、计算出信号s(t)所有的局部极值点。
2、用插值法求所有的极大值点构成的上包络线和所 有的极小值点构成的下包络线,分别记为u0 (t ) 和 v0 (t ) .
3、计算上下包络线的均值 u0 (t ) v0 (t ) m0 (t ) 2 及信号与上下包络线的均值的差
EMD原理和步骤
按照定义，一个基本的内蕴模式函数分量并不 被限定为窄带信号，它可以是幅度和频率调制的， 事实上，它可以是非平稳的。 EMD分解算法的基本思想是：对一给定信号， 先获得信号极值点，通过插值获得信号包络，得到 均值，与均值的差得到分解的一层信号；如此重复， 获得分解结果： l
f (t ) imfi (t ) r
共15种 • 经典类小波：Harr小波、Morlet小波、Mexican hat小波、Gaussian小波 • 正交小波：db小波、对称小波、Coiflets小波、 Meyer小波 • 双正交小波 Harr小波
1 ( x ) 1 0
0 x 1/ 2 1/ 2 x 1 其它
m m
EMD背景简介
信号分析与处理一直是最活跃的研究领域 之一。Fourier分析技术自提出以来，一直扮演 着举足轻重的角色，但随着研究对象和研究范 围的不断深入，也逐步暴露了 Fourier变换在研 2 究时变非线性信号时候的局限性。这种局限性 体现在：Fourier变换是一种全局性变换，得到 的是信号的整体频谱，因而无法表述信号的时 频局部特性，而这种特性正是非平稳信号最根 本和最关键的性质。 4
“端点效应”及其影响
在EMD分解的过程中，由于端点处极值的不 确定性, 每一次样条插值都有拟合误差，这样， 每一次的拟合会产生误差，误差不停积累，分解 出来的第一个基本模式分量端点处就会有较大的 误差。而第二个基本模式分量的分解是建立在原 始数据减去第一个基本模式分量的残余项的基础 上进行的，这样，由于第一个基本模式分量的误 差，使残余项也产生误差，导致分解的第二个基 本模式分量产生更大的误差。照此类推, 随着分 解的进行, 误差就会由端点处向内逐渐传播最后 在严重的情况下会使分解的数据失去意义。
EMD背景简介
由于分解是基于信号时域局部特征的，因此 分解是自适应的，也是高效的，特别适合用来分 析非平稳非线性的时变过程，它能清晰地分辨出 交叠复杂数据的内蕴模。EMD提出后，很快在许 多领域取得了良好的应用，但是，由于基于经验 进行信号的分析，EMD在理论上目前还无法获得 较好的解释，因此也遭到了许多学者的质疑。实 际上，EMD的最大突破在于不再依赖于基函数， 它是数据驱动的自适应分析方法。
基于小波变换和 经验模式分解的 心音信号研究
主要内容
1
从傅里叶变换到小波变换 小波变换的含义 小波变换的性质 MATLAB中的小波及算法 EMD背景简介
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
4
5
主要内容
6
EMD原理和步骤 “端点效应”及其影响 端点延拓
7
8
9
三次样条插值 应用实例——心音信号处理
10
从傅里叶变换到小波变换
傅里叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，
j ,k t 2 j 2 2 j t k
j, k z
小波变换的含义
根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数是有 ˆ (0) 0 ，所以可得到上式的等价条件 效值，必须有 为： ˆ (0) (t )dt 0

(t ) 中不含直流，只含有交流，即具有震 此式表明 荡性，故称为“波”，为了使 (t )具有局部性，即 在有限的区间之外很快衰减为零，还必须加上一个 衰减条件：
h0 (t ) s(t ) m0 (t )
EMD原理和步骤
4、判断 h0 (t )是否满足IMF的上述两个条件。若满足， 则h0 (t )为IMF，否则，令h0 (t ) 为s(t)，重复上述步骤 1-3，直到得到一个IMF，记为 c1 (t ) . 5、令 r1 (t ) s (t ) c1 (t ) 为新的待分析信号，重复上 述步骤1-4，得到第二个IMF，记为 c2 (t ) ，此时余 项为 r2 (t ) r1 (t ) c2 (t ) . 重复上述步骤直到所得余项 rn (t )是一个单调信号或 其值小于预先给定的阈值，分解结束。
R 1 2

R
t b f (t ) dt f , a ,b a
逆变换为：
1 f t C
1 t b W f a, b dadb 2 a a RR
a 是尺度因子，b 反映位移。
小波变换的性质
线性
WTx a, b WTg a, b WTh a, b
EMD背景简介
为了分析和处理非平稳信号，人们相继提出 并发展了一系列新的信号分析方法：短时Fourier 变换、双线性时频分布、小波分析、分数阶 Fourier变换等。短时Fourier变换、小波分析、分 数阶Fourier变换等算法从不同程度上对非平稳信 号的时变性给予了恰当的描述，大大改进了 Fourier分解的不足，但仍属于全局分析的范畴， 究其原因在于他们都依赖于基函数的选取,基函数 决定了这些方法对信号的分析能力，一旦基函数 确定，与该基函数相适应的信号分析结果就相对 理想，反之就得不到较好的效果。而信号自身千 变万化，不可能找到一种基函数可以与所有类型 的信号相适应。
MATLAB中的小波及算法
Daubechies小波 Daubechies小波一般简写为dbN，N为小波的阶 数。当N=1时，为Haar小波，当N>1时，dbN 没有显式表达式 Mexico hat小波
( x)
2 3
1 / 4 (1 x 2 )e x
2
/2
MATLAB中的小波及算法
是只具有正负交替的波动性，直流分量为0。
小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的