，用残差模型
的结果补充原始模型的精度不足。由于所得残差异号，不能直接进行灰 色模型的修正，故同时加上残差最小值的绝对值的二倍,经过计算，建 立如下累加生成数列的残差模型：
(1) ˆ1 q (k 1) 43.611 5e0.003 9k 43.025 6, k 0 ~ 5
将残差模型得到的数列 进行累减计算后减去0.1716得到 ，对由GM(0,4) 模型得到的 数列进行残差修正——加上 即得到经修正的固体火箭发动机 价格累加预测序列由得到的经一次修正的固体火箭发动机价格累加预测序 列进行累减计算即得到一次修正后的固体火箭发动机的价格
•累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。
4.灰色建模
序号 变量
修 正 单 价
(1) x1
1 0.880 9
2 2.530 9
3 3.624 6
4 3.790 5
5 4.098 7
6 5.098 7
比冲
(1) x2
0.982 6
0.781 1
1.876 3
参数
总冲
型号
1 0.7630 0.2055 0.4846 1 0.9211 0.9826 0.7719 0.9886 0.8239 1 0.7887
2 0.1810 1 1 0.6667 0.0592 0.8937 0.3209 0.6250 0.7060 0.7040 0.7587
3 0.0110 0.3596 0.9231 0.6667 0.0184 0.8937 0.0355 0.4091 0.2331 0.3620 0.2720
1
0.9848
0.0152
1.52
可以看出经二次修正后的模型精度较高，平均残差百 分比绝对值为1.61%，满足预测要求。 本节通过对已知数据的相关分析和聚类分析得到少数 有代表性的参数变量，然后用灰色建模理论建立了固体 火箭发动机的单价模型，经二次修正后具有较高精度， 平均残差百分比绝对值仅为1.61%。在小样本建模的情况 下，灰色模型建模精度比回归方法高，因此适用于固体 火箭发动机的单价预测。需要指出的是本研究结论是在 不考虑喉衬材料和推进剂差价的基础上，仅对固定喷管 发动机建立的无差异壳体材料的单价预测模型，如何将 模型应用于实际预测工作还有待进一步研究。
问题解决思路
找出影响价格的参数
提取与发动机价格高相关的参数
参数太多，聚类进行降维
建立灰色模型，建立价格关系式 检验残差，用残差模型进行修正
1、参数提取
• 固体火箭发动机的结构性能参数在很大程度上决 定了它的价格，当一切外在因素可忽略时，对发 动机要求什么样的指标，就可基本估算出它有什 么样的价格。
最大推力 最大压强 点延时间 工作时间 比冲 总质量 质量比 总长 外径 裙端间距
装药量 膨胀比
出口外径 材料费 修正单价
0.7810 0.9487
1 0.4185 0.8809
0.2026 0.6923
0.7211 1 1.65
0.0148 .08285
0.3522 0.4732 1.0937
0.0010 0.3478
式（7-1）
记模型中的参数为
T ˆ [b a 1 , b2 , b 3 , a]
式（7-2）
根据最小二乘算法，可得
ˆ (0.705 8 3.184 5 4.804 1.156 8)T a
得出的价格关系式
(1) (1) (1) (1) ˆ1 x 0.705 8x2 3.184 5x3 4.804x4 1.156 8
4 0.0010 0.0240 0.9 0.3 0.0118 0.8937 0.0030 0.3409 0.1077 0.1360 0.1287
5 0.010 0.1244 0.8461 0.2667 0.0276 0.9718 0.0152 0.6705 0.2630 0.2600 0.0549
6 1 0.2820 0.6154 1 1 1 1 1 1 0 1
实际原始值 0.8809 1.65 1.0937 0.1659 0.3082
(0) x1
ˆ1 (k 1) c
q (0)
还原后的模型值 0.8809 1.6905 1.0619 0.0201 0.5319
残差 0 0.0405 0.0318 0.1458 0.2237
残差百分比% 0 2.5 2.9 87.9 72.6
1
0.9144
0.0856
8.6
可以看出经修正后的模型后三个数据精度不能满足 预测要求，需要对其进行二次残差修正。由于残差异 号，故同时加上1，经计算后三个残差建立累加模型 如下：
(1) ˆ2 q (k 1) 1.948 6e0.332 2k 0.802 8, k 0 ~ 2
二次修正的固体火箭发动机的价格模型如下：
0.983 6 1.704
2.770
0.998 4 2.066
3.663 7
0.999 4 2.202
4.635 5
1.009 4 2.462
5.635 5
2.009 4 3.462
装药量
(1) x3
外径
(1) x4
可建立如下关系式：
(1) (1) (1) (1) x1 b1x2 b2 x3 b3 x4 a
表7-29固体火箭发动机主要性能及结构参数
主要部件 推进剂 壳体 喷管 点火装置 发动机总体
主要性能及结构参数 比冲、装药量、推进剂类型 最大压强、外径、壳体材料 喷管类型、裙端向距、喉衬材料、喷管出口外径、膨胀比 点火延迟时间、工作时间 总冲、最大推力、发动机质量、总长、质量比
数据处理
1、处理壳体材料费,得出没有壳体材料差异的修正单价 p2 =p1+p1×q×m 样本容量为6，壳体材料占发动机总价比例为q,壳体材 料价格变动率为m，发动机综合价格为p,p2为发动机现价 也是没有壳体材料差异的价格, p1 为原来的发动机综合 价格
ˆ2 (k 1) c ˆ1 (k 1) c
(0) ˆ2 (k )q (k 3), (k )
0, k 0,1, 2 1, k 3, 4,5
由二次修正得到的价格模型预测值与实际值对比如 表7-34所示。
实际原始值 0.880 9 1.65 1.0937 0.1659 0.3082 还原后的模型 值 0.8809 1.6905 1.0619 0.1659 0.2997 残差 0 0.0405 0.0318 0 0.0085 残差百分 比% 0 -2.45 2.91 0 2.76
3.聚类分析进行降维
• 与修正单价明显相关的参数有7 个，参数太多，我们要把 这些参数归类，每类选出一个代表参数，应用spss,对总 冲、比冲、发动机质量、外径、装药量，膨胀比、喷管外 径出口进行聚类。聚类结果如图所示
考虑到误差等原因，运用原聚类结果继续进行一下步运 算
膨胀化 比冲 喷管出口外径
外径
总冲 装药量 发动机质量
• 根据获得的分类结果，在第三类中有三个参数。为了找出 一个参数与另外两个参数最相似、最具代表性，根据公式 ri为相关系数，k为此类变量的个数），分别计算这三个 r 2 ri2 /(k 1) i 参数与其同类的其他参数的相关系数的均值。经分析可知， 装药量的均值最大，所以把装药量( x4(0) )作为典型参数。 至于第一、第二类因为各类只有两个参数，互为代表，第 一类中取比冲(x2(0) )，第二类取外径(x3(0) )。
0.1248 0.0919 0.1659
0.0100 0.7218
0.5009 0.1857 0.3082
1 1
1 0.5170 1
2.相关分析找出与价格高相关参数
经过spss运行，得出15个发动机参数同修 正价格的speraman 相关系数
经过spss运行得与修正单价显著相关以上（0.5≤｜ r｜)关系的参数有总冲、最大推力、总质量、外径、装药 量、材料费 考虑到各种误差，和软件更新的因素，现按原结果继 续运算，即得总冲、比冲、发动机质量、装药量、外径、 膨胀比、喷管出口外径与修正单价的相关性较明显，其他 参数不显著
0.4666 2.5726 3.6338 6532 4.1845 5.0982
通过从众多的变量中选取少量有代表性地作为模型的参数 （除第一个样本）可以达到较高精度，平均误差绝对值仅为9.13 ％，不能满足要求，所以要进行模型修正
5.利用残差模型修正
(1) 建立GM（1,1）的残差模型 (q(0) (k ) x1 ˆ1(1) (k )) (k ) x
4.建立灰色模型
•灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信 息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。灰 色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测 的方法。 •灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息 的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与 时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度， 即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系 统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建 立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的 状况。
基于聚类分析和灰色模型的固体 火箭发动机价格模型研究
题目背景
• 从事武器系统研制生产管理的部门不仅要提高系统的战术 技术性能，而且还应特别注意控制及降低武器的研制生产 成本。目前，我国实行的大多为确定的固定价格合同，在 签约时确定价格，以后不管实际成本如何，合同价格都保 持不变。而研制方利润与实际成本直接相关，因此签约前 必须做好充分的准备工作，其中就要求估算价格.对于固 体火箭发动机样本数较少、参变量多的情况，适合运用灰 色系统预测理论建立费用模型，具有较高的准确度。