第 3 节.条件概率
本节重点是条件概率定义及计算,有些事件虽然它的概率不 易直接计算,但容易求出它在各种情况下条件概率,于是设法由这 事件的诸条件概率求这事件概率.
一. 条件概率: 引例 1(古典概型分析):
投掷一枚骰子,设 A={出奇数点},B={出质数点},求 PB, PB | A.
解: 1,2,3,4,5,6, B 2,3,5, A 1,3,5
所以 P A P A1 P A2 | A1
P An | A1A2
An1
1 2
2 3
n 1.
n 1 n 1
2.全概率公式(将无条件概率条件化) 定理:设 B1, B2, Bn 是样本空间 的一个划分
(即 BiBj (i j),i, j 1,
P
i1
Bi
|
A
i1
P Bi
|
A.
其它性质仍满足如:
P | A 0;
PB | A 1 PB | A;
P B1 B2 | A PB1 | A PB2 | A PB1B2 | A等.
例:有 100 张彩票,其中有 3 张可中奖,有两人各买一张 (1) 已知第一人中奖,求第二人中奖的概率; (2) 不知第一人是否中奖,分别求第一人与第二人中奖的概率.
P A1 P H1 P A1 | H1 PH2 P A1 | H2
1 40 1 30 7 2 50 2 50 10
P A1A2 P H1 P A1A2 | H1 P H2 P A1A2 | H2
P
A1A2 | H1
40 10 A520
8 49
P
A1A2 | H2
P B 3 1 , P B | A nAB 2
62
nA 3
而PB |
A
nAB / n nA / n
2/6 3/6
P AB . P A
1.
定义:设
A,B
为两个事件,且 P
A
0,称 PB
|
A
P AB 为 P A
在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
注:1)条件概率计算时也常常直接计算不用公式;
n
4)只要 BiBj 且 Bi A定理也成立. i1
例 1.设有两袋大小相同的球,每袋各装 50 个,第一袋有白球 10
个,第二袋有白球 20 个,其余为黑球,现从两袋中随机取出一袋,再从
该袋中先,后取出两球
(1)求先取出的一球是白球的概率;
(2)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的是白球的概率.
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3.
200
例:袋中有一个白球及一个黑球,一次次地从袋中取球,如果取出
白球,则除把白球放回外,再加进一个白球直至取出黑球为止,求
取了 n 次都没有取到黑球概率.
解:记 Ai {第 i 次取得白球} i=1,2…n. A={取了 n 次都没有取到黑球}
则 A A1A2 An
例:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为 1 ,若
2
第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率为 7 ,若前两次落下
10
未打破,第三次落下打破的概率为 9 ,试求透镜落下三次而未打破
10
的概率.
解:令 Ai {透镜第 i 次落下未打破},i=1,2,3
则 p P A1A2 A3 P A1 P A2 | A1 PP3 | A1A2
A 是任一事件,则有
P A PB1 P A | B1 PB2 P A | B2 PBn P A | Bn .
证:因为 A AB1 AB2 ABn
所以 P A P AB1 P AB2 P ABn
P B1 P A | B1 PB2 P A | B2 PBn P A | Bn .
解:设 Hi={取到第i 袋} (i=1,2) Ai ={第 i 次取出的是白球} (i=1,2)
P
Hi
1 2
,
i
1,
2
(1) P A1 PH1 P A1 | H1 PH2 P A2 | H2
1 10 1 20 3 2 50 2 50 10
(2)
P
A2
|
A1
P A1A2 P A1
解(用排列法)(1)设 A={第一人中奖},B={第二人中奖}
则 P A 3 , P AB
100
A32 A2
100
32 100 99
1 1650
所以
PB
|
A
P AB P A
1/1650 3 / 100
2 99
0.0202.
(2) P A
3 ,PB
100
3 A919 A2
100
3 100
0.03
2)一般概率是条件概率的特例:
P
B
|
P B P
P
B;
3)条件概率 PB | A的频率近似:n 次试验中事件 AB 出现的次数nAB
除以
A
出现的次数 n A ,
nAB nA
接近于条件概率
PB
|
A
2.性质:如果 P A 0,则有
1)对任一事件 B, PB | A 0;
2) P | A 1;
3)设 B1, B2, , Bn , 两两不相容,则有
30 20 A520
12 49
所以P
A1 A2
1 8 1 12 10 2 49 2 49 49
所以P
A2 | A1
10 / 49 100 7 /10 343
思考:有人说有公式
P A2 | A1 P H1 P A2 | A1 | H1 P H2 P A2 | A1 | H2
由(1),(2)知 PB | A PB, P A PB.
二.关于条件概率的三个重要公式: 1. 乘法公式:
设 P A 0,则 P AB P A PB | A.
证:…
推广:当 P A1A2 An1 0时有 P A1A2 An P A1 P A2 | A1 P A3 | A1A2 P An | A1A2 An1 .
所以
P
A2
|
A1
1 2
10 49
1 2
20 49
15 49
对吗?为什么?
注:1)本公式可理解为知因索果,即知道引起事件发生的各种原
因 Bi 的 P Bi 以及在各种原因 Bi 发生情况下事件 A 的概率,求事件 A 的
全概率. 2)“全部”概率被分成许多部分之和,故称为全概率公式;
3)公式意义为:事件 A 的概率等于事件 A 在各种条件下概率的加 权平均,这些条件是事件 A 的划分;