第四章 三角函数
一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广
(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ
(3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量
(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)
(180'≈==
π
π弧度弧度
(3)弧长公式:r l
⋅=α 扇形面积公式:22
1
21r lr S α==
3.任意角的三角函数
y
x
x y x r
r x y r
r y =
=====
ααααααcot tan sec cos csc sin
注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式
（一） 诱导公式：
α±⋅
2
k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号
看象限”。
如：
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。
（二）
同角三角函数的基本关系式：①平方关系1
cos sin
22
=+αα；
α
ααα22
22tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=
+②商式关系
α
α
α
tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。
（三） 关于公式1cos sin
22
=+αα的深化
()
2
cos sin sin 1ααα±=±；
α
ααcos sin sin 1±=±；
2
cos
2
sin
sin 1α
α
α+=+
如：
4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-
注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。
2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）；
b)
化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。
三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式
()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()β
αβαβαsin sin cos cos cos =±
()β
αβ
αβαtan tan 1tan tan tan ±=
±
（二）倍角公式 1、公式βαα
cos sin 22sin = cos 2α=
2
2cos 1α
+ sin 2α=
2
2cos 1α
-
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
α
αα2tan 1tan 22tan -=
α
α
ααα
sin cos 1cos 1sin 2
tan
-=
+=
)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )sin ,(cos 2
2
2
2
b
a a b
a b
+=
+=
ϕϕ
注： （1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。
（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。
（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。
2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型： （1）求值
①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角
②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解
③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次
注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论
（2）化简
①化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号
②化简三种基本类型：根式形式的三角函数式化简、多项式形式的三角函数式化简、分式形式的三角函数式化简 ③化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。
（3）证明①化繁为简法②左右归一法③变更命题法④条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。
无论是化简还是证明都要注意：（1）角度的特点（2）函数名的特点（3）化切为弦是常用手段（4）升降幂公式的灵活应用 四、三角函数的性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
图象
定义域 x ∈R x ∈R x ≠k π+
2
π
(k ∈Z ) x ≠k π(k ∈Z )
值域 y ∈[－1,1] y ∈[－1,1] y ∈R y ∈R 奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
在区间[2k π－2
π,2k π+
2
π
]上都是增函数 在区间[2k π+2
π
，
2k π+2
3π]上都是减函数
在区间[2k π－2k π]上都
是增函数
在区间[2k π，2k π+π]
上都是减函数
在每一个开区间
(k π－2π, k π+2
π)
内都是增函数
在每一个开区间 （k π,k π+π）内都是减函数
周 期 T=2π
T=2π T=π
T=π 对称轴
2
π
π+
=k x
π
k x =
无
无
对称 中心
()0,πk
⎪⎭⎫
⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭⎫
⎝⎛0,2πk ⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2πk 五、已知三角函数值求角 1、反三角概念： （1）若sinx=a ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈≤2,2,1ππx a 则x=arcsina ，说明：a>0，arcsina 为锐角; a=0,arcsina=0; a<0, arcsina
为“负锐角”。
（2） 若cosx=a
[]π,0,1∈≤x a 则x=arccosa 说明：a>0，arccosa 为锐角; a=0,arccosa=900; a<0, arccosa
为钝角。
（3）若tanx=a
⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈∈2,2,ππx R a 则x=arctana 说明：a>0，arctana 为锐角; a=0,arctana=0; a<0, arctana
为“负锐角”。
如；arcsin
06023=,arcsin 2
2arcsin 45)22(0-=-=-.
arccos 2
1arccos 32)21(-==-
ππ,arctan3>060,而arctan(-3)=--arctan3. 而sin(arcsin )3
π不存在。
2、反三角关系：
(1) arcsin(-x)=-arcsinax; arctan(-x)=arctanx; arcos(-x)=π-arccosx 由此可知：
x y x y arctan ,arcsin ==是匠函数，而x y arccos =非奇非偶。
(2) arcsinx+arccosx=2
π
3、[)π2,0∈
x 时求角x ：
六、三角函数的最值 （1）
配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数
2sin sin 1y x x =++的最值，可转化为求函数[]21,1,1y t t t =++∈-上的最值问题。
（2） 化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：sin )a x bcox x ϕ+=+
（3）
换元法求最值
①利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，此时常用万能公式和判别式求最值。
②利用三角代换将代数问题转化为三角函数，然而利用三角函数的有界性等求最值。