三角函数知识总结一、知识框架二、知识点、概念总结1.Rt△ABC中(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边2.特殊值的三角函数：a sina cosa tana cota30°123233345°22221 160°32123333.互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.4. 同角三角函数间的关系平方关系：sin2(α)+cos2(α)=1 tan2(α)+1=sec2(α) cot2(α)+1=csc2(α)积的关系：sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secαcotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=15.三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA>0, cotA>0.6.解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表：7.仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．要点一：锐角三角函数的基本概念DABCEFAOBEC D 1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE =1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？2.（綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ；(2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ）A 3B 2C ．12D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ） A ．(21)，B ．2)，C ．211)，D ．(121)，3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米B ．3C 83米D 43米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．132⎛- ⎝⎭，B ．33⎛ ⎝⎭，C ．132⎛- ⎝⎭， D ．132⎛- ⎝⎭， 6.（襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+o o og等于（ ） （A ）1 （B 2 （C ）2 （D 3 三、解答题11.（·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°12.（崇左中考）计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．13.（义乌中考）计算：33sin 602cos 458-+o o要点三、解直角三角形在实际问题中的运用1.（庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定．如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB =45°， ∠OAB =30°，OA =60cm ，求点B 到OA 边的距离．（3 1.7≈，结果精确到整数）2.（郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB 的高度为1.5米，测得仰角α为30°，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）3、（眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。
4、（常德中考）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．5、（广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
(参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449=== )6.（广东中考）17．如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30º，∠ABD =45º，BC =50m. 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）.7.（安徽中考）19.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度.已知在离地面1500m ，高度C 处的飞机，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长.8.（连云港市中考）24．（本题满分10分）如图，自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于第6题图B C lD 第19题南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）9.（苏州市中考）25．（本题满分5分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．(1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于▲ 度；(2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1≈1.732）．10.（宿迁市中考）23．（本题满分10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取3＝1.732，结果精确到1m）东北600ABC11.（成都市中考）16．（本小题满分6分） 如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B 处时，发现灯塔A 在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B 处向正西方向行驶至达C 处时，发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向。
求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)12.（金华市中考）19.(本题6分)生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬. 现在有一长为6米的梯子AB , 试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC .（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77， cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）13、（盐城市中考）24．（本题满分10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD =60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？ （结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732）第19题图ABα梯子C60°30°ABCD。