2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩

例1.(1)求nkk12142的值; (2)求证:35112nkk.

解析:(1)因为121121)12)(12(21422nnnnn,所以122121114212nnnknk (2)因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk

奇巧积累:(1)1211212144441222nnnnn (2))1(1)1(1)1()1(21211nnnnnnnCCnn (3))2(111)1(1!11)!(!!11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr (4)25)1(123112111)11(nnnn (5)nnnn21121)12(21 (6) nnn221 (7))1(21)1(2nnnnn (8) nnnnnnn2)32(12)12(1213211221 (9)knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(nnnn (11)21212121222)1212(21nnnnnnn

(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112nnnnnnnnnnnnnn (12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123nnnnnnnnnnnn

11112111111nnnnnnn (13) 3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn

(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2kkkkkk (15) )2(1)1(1nnnnn

(15) 111)11)((1122222222jijijijijijiji

例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222nnn (2)求证:nn412141361161412 (3)求证:1122642)12(531642531423121nnn (4) 求证：)112(2131211)11(2nnn 解析:(1)因为12112121)12)(12(1)12(12nnnnn,所以 )12131(211)12131(211)12(112nnini (2))111(41)1211(414136116141222nnn (3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531nnn,再结合nnn221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nnnnn12)1(21,所以容易经过裂项得到

nn131211)11(2

再证21212121222)1212(21nnnnnnn而由均值不等式知道这是显然成立的，所以

)112(2131211nn

例3.求证:35191411)12)(1(62nnnn 解析:一方面:因为12112121444111222nnnnn,所以

35321121121513121112nnknk

另一方面:1111)1(143132111914112nnnnnn 当3n时,)12)(1(61nnnnn,当1n时,2191411)12)(1(6nnnn, 当2n时,2191411)12)(1(6nnnn,所以综上有

35191411)12)(1(62nnnn

例4.(2008年全国一卷) 设函数()lnfxxxx.数列na满足101a.1()nnafa.设1(1)ba，，整数11lnabkab≥.证明:1kab. 解析:由数学归纳法可以证明na是递增数列,故存在正整数km,使bam,则 baakk1

,否则若)(kmbam,则由101baam知

0lnlnln11baaaaammm

,kmmmkkkkaaaaaaa111lnln,因为)ln(ln11bakaakmmm,

于是bababakaak)(|ln|11111 例5.已知mmmmmnSxNmn321,1,,,求证: 1)1()1(11mnmnSmn. 解析:首先可以证明:nxxn1)1(

nkmmmmmmmmkknnnnn111111111])1([01)2()1()1(

所以要证

1)1()1(11mnmnSmn只要证: nkmmmmmmmmmnkmnkmmkknnnnnkmkk111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([

故

只要证nkmmnkmnkmmkkkmkk1111111])1[()1(])1([,即等价于 mmmmmkkkmkk111)1()1()1(

,即等价于11)11(11,)11(11mmkkmkkm

而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知nnna24,nnnaaaT212,求证:23321nTTTT.

解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321nnnnnnnT 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111nnnnnnnnnnnnnnnnT





12112123)12)(122(223

1nnnnn

从而231211217131311231321nnnTTTT 例7.已知11x,),2(1),12(ZkknnZkknnxn,求证: *))(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn



证明: nnnnnnxxnn222141141)12)(12(11424244122,因为

12nnn,所以)1(2122214122nnnnnxxnn 所以*))(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn

二、函数放缩 例8.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.

解析:先构造函数有xxxxx11ln1ln,从而)313121(1333ln44ln33ln22lnnnnn 因为nnnn31121219181716151413121313121

6533323279189936365111nnnnn



所以6653651333ln44ln33ln22lnnnnnnn 例9.求证:(1))2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn 解析:构造函数xxxfln)(,得到22lnlnnnnn,再进行裂项)1(1111ln222nnnnn,求和后可以得到答案 函数构造形式: 1lnxx,)2(1lnnn 例10.求证:nnn1211)1ln(113121

解析:提示:2ln1ln1ln1211ln)1ln(nnnnnnnnn 函数构造形式: xxxx11ln,ln