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常用放缩方法技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能
全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素
材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进
行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

⑴添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(
⑵将分子或分母放大（或缩小）

⑶利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3lg2；2)1()1(nnnn
⑷二项式放缩: nnnnnnCCC10)11(2,1210nCCnnn,

2
222210nn
CCC
nnn
n

)2)(1(2nnn
n

(5)利用常用结论：
Ⅰ. 1k 的放缩 ：222121kkkkk

Ⅱ. 21k的放缩(1) ： 2111(1)(1)kkkkk（程度大）
Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211kkkkkk（程度小）
Ⅳ. 21k的放缩(3)：2214112()412121kkkk（程度更小）
Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(mabmambab和)0,0(mbamambab
记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.
Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：()(0)1xfxxx，从而实现利用函数单调性质的放缩：

()()fabfab
。

一． 先求和再放缩
例1.)1(1nnan,前n项和为Sn ，求证：1ns

例2.nna)31( , 前n项和为Sn ，求证：21ns
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二． 先放缩再求和
（一）放缩后裂项相消

例3．数列{}na，11(1)nnan，其前n项和为ns ，求证：222ns

（二）放缩后转化为等比数列。
例4. {}nb满足：2111,(2)3nnnbbbnb
（1） 用数学归纳法证明：nbn

（2） 1231111...3333nnTbbbb，求证：12nT

三、裂项放缩
例5.(1)求nkk12142的值; (2)求证:35112nkk.

例6.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222nnn
(2)求证:nn412141361161412
(3)求证：)112(2131211)11(2nnn
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例7.求证:35191411)12)(1(62nnnn

例8.已知nnna24,nnnaaaT212,求证:23321nTTTT.

四、分式放缩
姐妹不等式:)0,0(mabmambab和)0,0(mbamambab

记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.
例9. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(nn和

121)211()611)(411)(211(n
n

也可以表示成为

12)12(5312642n
n

n




和1212642)12(531nnn

例10.证明:.13)2311()711)(411)(11(3nn
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五、均值不等式放缩
例11.设.)1(3221nnSn求证.2)1(2)1(2nSnnn

例12.已知函数bxaxf211)(，a>0,b>0,若54)1(f，且)(xf在[0，1]上的最大值为21，
求证：.2121)()2()1(1nnnfff

六、二项式放缩
nnnnnnCCC10)11(2,1210nCCnnn,

2222210nnCCCnnnn )2)(1(2nnnn

例13.设Nnn,1，求证)2)(1(8)32(nnn.

例14. nna32 , 试证明：.121111424nnnaaa≤

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七、部分放缩(尾式放缩)
例15.求证: 74123112311311n

例16. 设ana211.2,131anaa求证：.2na

八、函数放缩
例17.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.

例18.求证:)2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn

例19. 求证:nnn1211)1ln(113121

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九、借助数列递推关系
例20. 若1,111naaann,求证:)11(211121naaan

例21.求证:1222642)12(531642531423121nnn

十、分类放缩
例22.求证:212131211nn