=+a pa n n r1+=++ra sa pa qn n n 1=+a s n 1=++a a a nn n 11=+⋅+a a f n a n n n 12)(目录一、基本数列 (3)1.1等差数列与差分 ...................................................................................................................................3 1.2等比数列与商分 .. (6)1.2.1指数主导项型........................................................................................................................ 10 1.3 求和与裂项 . (13)1.3.1裂项 .......................................................................................................................................... 15 1.3.2 P 级数 .. (17)二、数列的性质 (21)3.1差分 ....................................................................................................................................................... 21 3.2商分 ....................................................................................................................................................... 25 3.3数学归纳法 ......................................................................................................................................... 31 3.4反证法 .................................................................................................................................................. 35 三、递推关系 . (39)3.1二次型， (39)3.2打钩型 .................................................................................................................... 48 3.3根式型 (56)3.4分式型 (63)3.5幂级型 ............................................................................................................................ 68 四、重要不等式 ................................................................................................................................................ 71 4.1对数函数 ............................................................................................................................................. 71 4.2三角函数 ............................................................................................................................................. 79 4.3指数与二项式 .................................................................................................................................... 83 4.4基本不等式 .. (87)⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+≤+-+-<+⎛⎫⎛⎫+c c c n n n n 2242321241111117112+---<-+n n n n 222212111111+≤-+n n 22211≥n 2+⎝⎭⋅++ ⎪===+-+⎛⎫++c n n n n n n n n nn 212222222212211121212)()(+=+=n a b n n n 11+=-n b n 11=--b n n 11-1=-b 211⎩⎭⎨⎬⎧⎫b n 1=-+b b n n1111-=+b b b n n n11=+a b n n 1-=+a a nn 211≠a n 2 n c c c n +++<+12724=+212n c a a n nb n {}b a n n =-1n n n a a a n N =-∈++*1121()a =112a n {}+-1(1)a n d a n 1+->n n a a d +-1(1)a n d a n 1+-<n n a a d a n ｛｝d a n ｛｝d a n ｛｝-≤≥+b b d n n 1)(=+∈+b b f a f a B n n n n ,1)()(=++a a f n n n 1)(=++a a d n n 1一、基本数列1.1等差数列与差分伪等差已知数列，若从第二项起，每一项与它的前一项的差都小于（或大于）同一个常数，则数列叫做伪等差数列，称为伪等差数列的公差。

伪等差数列具有性质：若，则 ； 若，则 .1、已知数列满足，，令. （1）求数列的通项公式； （2）令，求证：. 解：（1）因为，所以 把带入得 对上式两边取倒数得所以为首项，公差为的等差数列 所以，从而 （2） 得到 因为时，所以所以n a n +≤≤2211,n n N ≥∈*a =≥+=1121223n =122,2,n a n n n N ≥+≥∈*n a a n n ≤+-=+21112(2)121n n n n a a a a n +=+≤+≥111112(2)n a a ≤=2122,n n N ≥∈*n a a ≤=11a n }{1+<a a n n a a n n+>>1110111+=+a a a n nn a n >0n a n n2(2)2a a a a n n n11, 211a n n n a n +≤≤+2321n ≥2=++⋅⋅⋅+≤++-=+-a a a n n n n n n 22221221311)(≥≥a n n 42)(=++⋅⋅⋅+≥+-a a a n n n n 22211-=-++⋅⋅⋅+≥-a a a a n n n n 1222111)(-=+-=+⋅⋅⋅-=+-----a a a a a a a a a n n n n n n 1,1,,122212111221≥=≥a a n n 422)(a n }{-=+>+a a a n n n 1021=+++a a a nn n 121n n a n +≤≤+2321n ≥2n N ∈*a a a n n n+=++121a =11a n ｛｝2、设数列满足，，. 证明：当时，.证明：因为 所以，所以单调递增 从而累加得所以又因为 所以所以当时，.3、数列满足：; 证明：解：由已知条件易知：，且，（*） ∴，因此，即数列是递减数列，故. 当时，.又由（*）知，，利用累加可得：，即， 经验证：当时，也成立. 因此当时，.≤n nS n 2=S 1211=n 1≤n n S n 2⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪<+-+⋅⋅⋅+-=⎛⎫⎛⎫S a n n n 22221112=-+-+⋅⋅⋅+-+<-+=----a a a a a a a a n n n n n n n 22111112211)()()(≥n 2+-=<-a a a a n n n n111+=-a a a n n n 112≤n nS n 2n n a n }{S n =+≥--a a a a n n n n n (2)112=a 211a n }{∴=++++≤a a d d d ()2161125+++≤d d d 20125-+++d d d 4092016()125=+++d d d 40967504≤+++d d d 5125++++=d d d d 2016123504≤≤≤≤d d d d 123504=i (1,2,,504)=-+d a a i i i 1-≤-+++a a a a n n n n 121a 6=a 2017505=a 11≤+++a a a n n n 212N ∈n *S n n a n {}4、[2017.4杭州二模]已知数列的各项均为非负数，其前项的和为，且对任意，都有.若，，求的最大值；解：由题意知，设， 则，且， ，所以，5、[2017绍兴柯桥]22．（本题满分15分）已知正项数列满足：，，为数列的前项和．求证：对任意正整数，有；证明：由题意得，所以所以时， 所以，即当时，，综上，-=++a n n n 23211-=-=---a a n n n 242(1)(1)()()1113111121-43⎩⎭⎨⎬-⎧⎫a n 11-=-a 41131=a 41-=-+a a n n 21(1)1111=++a a n n 221111a n }{∈n N *=a 41=++a a n n 221111a n }{a q n -11a n 1+>n na a q a q n -11a n 1+<n n a a q q >0a n >0a n ｛｝q a n ｛｝q q ≠(0)a n ｛｝≥≤+b q b nn 1)(=∈+b f a f a B b n n n n ,1)()(=+=+++a qa p a qa f n n n n n ,11)(=+a qa n n 11.2等比数列与商分通项 累加 差分形式已知数列，若从第二项起，每一项与它的前一项的比都 同一个常数，则数列叫做伪等比数列，称为伪等比数列的公比。