求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归 结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用 力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际 问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更 多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。 注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影， 应注意投影的正负号。
例9-1
转动,OA=r,AB=l,当
2 x l 1 4
r / l 比较小时,以O 为坐标
原点,滑块B 的运动方程可近似写为
r cos t cos 2 t 4
如滑块的质量为m, 忽略 摩擦及连杆AB的质量,试求
π 当 t 0 和 时 ,连 2 杆AB所受的力.
理论力学
例： 质点M的质量为m，运动方程是x = bcosωt, y = dsinωt，其 中b, d, ω为常量。求作用在此质点上的力。 y 解：1、求质点的加速度 y 2 d x M j ax 2 b 2 cos t 2 x, dt o i x x
d2y a y 2 d 2 sin t 2 y dt
2


m
t
)

dy
mg
0

(1 e

m
t
)dt


2
(1 e

m
t
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
属于第二类基本问题。
例9-3
已知：一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg 的小球系 于长 l=0.3 m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与 铅直线成 60 角。 求：如小球在水平面内作匀速圆周运动，小球的速 度与绳的张力。
0 时
理论力学
解： 研究铁球
其中
当
v2 m FN mg cos R n
v 30 R
0 , FN 0 时，解得
g n 9.549 cos 0 R
g 当 n 9.49 时，球不脱离筒壁。 R
理论力学
例 在曲柄滑槽机构中，活塞和滑槽的质量共为50kg。曲 柄OA长r=0.3m，绕轴O作匀速转动，转速n=120r/min。求滑 块作用在滑槽上的水平力（各处摩擦不计）。
理论力学
解: 研究滑块 max F cos 其中
r 2 cos t cos 2 t ax x
当
0时, ax r 2 1 , 且 0
F mr 2 1

2 时, a x r 2 且 cos l 2 r 2 l
F1
Fn
a a
m a Fi
i 1
n
或
m a FR
i
r
k
o j
而
则
d r a 2 dt n d 2r m 2 Fi dt i 1
2
y
x
矢量形式的质点运动微分方程。
理论力学
1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
r xi yj zk
Fi Fxi i Fyi j Fzi k
O
v0
F
P
x
M
v
y
理论力学
2 2 dv y d v d x d y x 解: m m vx , m 2 m mg v y 2 dt dt dt dt v0 O 由 t 0 时 vx v0 v y 0 F vx 1 t M d v d t 积分 x v0 0
反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
动力学基本定律说明： （1）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。 工程问题中，取固于地面或相对于地面作匀速直线运动 的坐标系为惯性坐标系， （2）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。
理论力学
§9-2 质点的运动微分方程
根据牛顿第二定律，若质点M的质量 z 为m，受n个力F1 , F2 ,…., Fn作用， 则有 Fi M FR
则
dv n m Ft i dt i 1 v2 n m Fni i 1
0 Fbi
i 1 n
2
m
所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，
(－ )
自然轴系的质点运动微分方程
理论力学
§10-3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求此质点所受的力。 如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和加 速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。 第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。
2、求质点所受的力
d 2x d2y 由 m 2 Fxi , m 2 Fyi 得 dt dt
Fx max m 2 x, Fy may m 2 y
理论力学
Fx max m 2 x, Fy may m 2 y
讨论： 求质点的轨迹方程： 从运动方程中消去 t，得
理论力学
解：
研究小球
F cos mg 0
其中
m
v2
F sin
l sin
mg F 1.96 N cos
v Fl sin 2 2.1 m s m
属于混合问题。
理论力学
例9-4 已知：粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平
轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为 了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 才掉下来。 求：滚筒每分钟的转数 n 。
理论力学
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点 系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
x


vy
1 mg
vx

0

v x v 0 e
vy
dv y
t

m
P
v
0
m
dt
t m
t m

vy
mg

y

(1 e
)
由 t 0 时，x y 0 积分


y 0
x
0
dx v0e
0
t
t
t m

dt

x v0 y
理论力学
m
mg

t
(1 e m g
理论力学
理论力学
理论力学
z F1
Fi M FR
Fn a
d 2x d2y d 2z a 2 i 2 j 2 k dt dt dt
将式 m a
F
i 1
2
n
i
向坐标轴投影，得 i x
k
o j
r
n d 2x m 2 Fxi m x dt i 1
y
m m y
d y Fyi 2 dt i 1
★ 第一定律（惯性定律）
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 说明： • 本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动 的性质，即惯性。 • 匀速直线运动称为惯性运动。 • 明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。
理论力学
★ 第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，
第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
理论力学
牛顿
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发 现了太阳光是由7种不同颜色的光 合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与 莱布尼兹各自独立地发明了微积分， 给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献， 也是牛顿对整个自然科学的最重要 贡献是他的巨著《自然哲学的数学 原理》。这本书出版于1687年，书 中提出了万有引力理论并且系统总 结了前人对动力学的研究成果，后 人将这本书所总结的经典力学系统 称为牛顿力学。
理论力学
动力学的研究对象：
低速、宏观物体机械运动的普遍规律。
动力学的理论基础：
牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律 牛顿定律的适用范围（1）不适于微观物体；（2）物体的运动速 度不能太大。 动力学分为质点动力学和质点系动力学： 质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。
质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质点
y
Fy
x2 y2 2 1 2 b d
质点所受的力可表示为
y r j o i
M Fx x x
F Fx i Fy j m 2 ( xi yj ) m 2 r
易知： ⑴力的方向永远指向椭圆中心，为有心力； ⑵力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。
理论力学
已知：曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度
加速度的方向与力的方向相同。
即
ma F
说明：
• 此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。 • 质量是质点惯性的度量。 • 在地球表面，物体受重力作用，有 P = mg 式中，g — 重力加速度，一般取 g = 9.80 m/s2。
理论力学
★ 第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相