图形内任一点D的速度：
vD ωAB DC
例8-6 已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄 OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲 柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG， GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。 求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
CD l
2.选D为基点 aD l 2 t n a A aD a AD a AD
大小 ？ l 2 方向 ? l 2
分别沿 轴和 轴投影
n aA cos aD cos π 2 aAD
t n 0 aD sin a AD cos a AD sin
§ 8-3 求平面图形内各点的瞬心法
1.定理
基点：A
v
B
v
A
v
BA
vM v A vMA
vM v A AM
可以找到一点C，此时 vCA vA 即： AC vA ω vC 0 一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地 存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简 称速度瞬心。
dt R dt R
3.选Ｏ为基点
t n aC aO aCO aCO
大小 ？ 方向 ？
由于 和
aO R
R 2
大小相等，方向相反
n aC aCO R 2
[例] 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A//O2B。试问 1 和 2 是否相等？ (a),(b)两种情况下1 和 2 ，
解： 1. AB作平面运动
（vA） vB AB AB
vB cos 30 OA OA vB 0.2309 m s cos 30
2.CD作定轴转动，转动轴：C
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
3.DE作平面运动
（vD） vE DE DE vE cos 30 vD vD vE 0.8 m s cos 30
速度瞬心的确定方法 (1) 已知一平面图形在固定面 上作无滑动的滚动（纯滚动）
w
图形与固定面的接触点 C就是图形的速度瞬心
(2) 已知 v A , vB 的方向，且 v A不平行于 vB 。
速度瞬心C的位置必在每一点速度的垂线上
(3) 已知 v A , vB 相互平行，且速度方向垂直于两点 连线
滚子A沿水平面作纯滚动，通 过连杆AB带动滑块B沿铅垂轴向 上滑动。设连杆长l = 0.8m，轮 心速度 v0 3 m/s 。求当A B与铅 垂线成 30 时，滑块B的速度 及连杆的角速度。 解：1.基点法 取A为基点，B点的速度
vB vA vBA
2. 速度投影法
（vA） vB AB AB
[例] 行星齿轮机构
已知: R, r , 0 轮A作纯滚动，求 vM 1 , vM 2
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
§ 8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
基点：A， 牵连运动为平移
t n a B ae a r a r t n a B a A a BA a BA
解：
1. AB作平面运动
基点：A
（1） 60
vB v A cos 30 2 3r 3
（2） 0 vB 0

（3） 90
vB v A r ,
vBA 0
解题步骤： （1）分析题中各物体的运动 平移、转动、平面运动 （2）研究作平面运动的物体上哪一点的速度大小 和方向是已知的，哪一点的速度的某一要素是已 知的 （3）选定基点，而另一点可应用公式作速度平行 四边形 v v v
O
I
A
解:
1.轮Ⅰ作平面运动，瞬心为 C。
轮Ⅰ的角速度和角加速度为：
vO 1l r r 2.选基点为Ｏ
2

d2 0 dt
B
C O1 II
O
A
I
（1）点A：
点A的加速度的方向沿OA，指向中心O，它的大小为：
（2）点B：
点B的加速度大小为：
aB a a
2 O
2 n BO 2
A
v
BA
其中 vBA
大小 vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
平面图形内任一点的速度等于基点的速 度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解：
1. AB作平面运动 基点： A
解得 a A l 2
t a AD 0 AB
t a AD 0 AD
例8-9 已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心 O的速度为 vO ，加速度为 aO ，车轮与地面接触无相 对滑动。 求：车轮上速度瞬心的加速度。
解： 1. 车轮作平面运动，瞬心为 C。
vO 2. R d 1 dvO aO
t a BA
n aBA
t 大小 a BA AB
方向垂直于 AB ，指向同
n 2 AB 大小 aBA
方向由 B指向 A
平面图形内任一点的加速度等于基点的加 速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和 法向加速度的矢量和。
例8-7 已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速 度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只 滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线 上，而点B在垂直于O1O的半径上。 求：点A和B的加速度。 B C O1 II
基点：B
vD vDB vB l
vD vB DE 5 rad s DE l vDB vB BD 5 rad s BD l
2 2 vC vB vCB 1.299 m s
方向沿BD杆向右
例8-3
已知：曲柄滑块机构如图所示，OA =r, AB= 3r 。如曲柄 OA以匀角速度ω转动。 求：当 0,60,90 时，点B 的速度。

l
2 1
l 1 r
与半径OB间的夹角为： aO r arctan n arctan aBO l
例8-8 已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以
匀角速度ω绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。
求：当 60时，尺AB的角加速度和点A的加速 度。
解： 1. AB作平面运动，瞬心为 C。 vD l AB
xO f1 t yO f 2 t f3 t
刚体平面运动方程
O 基点 转角
运动分析
=
+
平面运动 = 随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动 平面运动可取任意基点而分解为平移和转 动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有 关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速 度与基点的选择无关。
2.平面图形内各点的速度分布 基点：瞬心C vA vC vAC vAC vB vC vBC vBC vD vC vDC vDC 平面图形内任意点的速度 等于该点随图形绕瞬时速度 中心转动的速度。
vA ω AC
vB vA cot
vA vBA sin vBA vA AB l l sin
例8-2 已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角 速度为ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解： 1.BD 作平面运动
B A BA
（4）利用几何关系，求解平行四边形中的未知量
速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点 连线上的投影相等
vB vA vBA
沿AB连线方向上投影，得到：
vB AB vA AB
例8-4
如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速 度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A， B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
2.杆BG作平面运动，瞬心为C vG BG GC BC vB BG BC vG GC vG cos 60
ω AB vB AB vG cos 60 0 .888 rad s AB
由此可看出： 1.机构的运动都是通过各部件的连接点来传递的； 2. 在每一瞬时，机构中作平面运动的各刚体有各自的 速度瞬心和角速度
例8-5
已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。 求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。
解： AB作平面运动， 速度瞬心为点C。 图形的角速度：
AB
vA vA AC l sin
B点的速度：
vD
D
C
vB AB BC vA cot
第八章
刚体的平面运动
第八章
§ 8-1 § 8-2
刚体的平面运动
刚体平面运动的概述和运动分解 求平面图形内各点速度的基点法
§ 8-3
§ 8-4
求平面图形内各点速度的瞬心法
用基点法求平面图形内各点的加速度
§ 8-5
运动学综合应用举例
引言
刚体的平动与定轴转动是最常见的、最简单的刚体 运动。刚体还可以有更复杂的运动形式。其中，刚体的 平面运动是工程机械中较为常见的一种刚体运动。它可 以看作为平动与转动的合成，也可以看作为绕不断运动 的轴的转动。
本章将分析刚体平面运动的分解、平面运动刚体的 角速度、角加速度，以及刚体上各点的速度和加速度。