因式分解的六种方法及其应用
因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．
方法一提公因式法
题型1 公因式是单项式的因式分解
1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()
A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1
C．3y－4x＋1 D．3y－4x
【解析】B
2．分解因式：2mx－6my＝__________．
【解析】2m(x－3y)
3．把下列各式分解因式：
(1)2x2－xy；
(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.
【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．
题型2公因式是多项式的因式分解
4．把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.
【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．
(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．
方法二公式法
题型1直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2；
(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．
(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.
(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.
题型2 先提再套法
6．把下列各式分解因式：
(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.
【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．
(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.
题型3 先局部再整体法
7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．
【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法
8．把下列各式分解因式：
(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.
【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.
(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.
方法三 分组分解法
9．把下列各式分解因式：
(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.
【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．
(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．
方法四 拆、添项法
10．分解因式：x 4＋14
. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122
－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12
)． 方法五 整体法
题型1 “提”整体
11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．
【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )
＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．
题型2 “当”整体
12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．
【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.
题型3“拆”整体
13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．
【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)
＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．
题型4“凑”整体
14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2
＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
方法六换元法
15．分解因式：
(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.
【解析】(1)设a2＋2a＝m，
则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1
＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.
(2)设b2－b＝n，
则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4
＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.
因式分解的7种应用
因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．
应用一用于简便计算
1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718
＝(23＋59＋18)×2.718
＝100×2.718
＝271.8.
2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.
【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172
＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.
应用二用于化简求值
3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.
求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.
【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，
∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.
(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.
应用三用于判断整除
4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：
不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个
两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数
中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得
的差一定能被9整除．
应用四用于判断三角形的形状
5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.
即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.
又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，
即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
应用五用于比较大小
6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．
【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．
因为a＞2，所以a＋3＞0，
从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；
当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；
当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.
应用六 用于解方程(组)
7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．
【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④
把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.
应用七 用于探究规律
8．观察下列各式：
12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．
【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.
理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1
＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。