3、从不同总体中取出的各个样本，
即各个X
相互独立。
ij
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设因素A有r个水平A1，A2，…，Ar，在每个水平Ai(i=1，2，…， r)下，进行ni (ni≥2)次独立试验，整理试验结果如下表所示。
试验结果
试验批号
样本 样本均 和值
1 2…
j…
ni
1
X 11 X 12 X 1 j X 1n1 T1
（1.2）
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r
r
记
1 n
nii , 其中n
ni， 称为总平均。
2, , r.
此时，有n11 n22 nrr 0,i表示水平Ai下的总体 平均值与总平均的差异，习惯上将i称为水平Ai的效应。
作下面的记号：X
1 n
r i1
ni
7
由于Xij ~ N(i , 2),即有Xij i ~ N(0, 2),
故X ij
i可看成是随机误差。记X ij
i
ij
,
则X
可写成
ij
X ij i ij ,
ij
~
N
(0,
2
)，各
独立，
ij
i 1, 2, , r, j 1, 2, , ni.
（1.1）
其中，i与 2均为未知参数。则上式称为
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1
例1 设有三台机器，用于生产规格相同的铝 合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千 分之一厘米。得结果如下表所示。
铝合金板的厚度
机器1
机器2
机器3
0.236
0.257
0.258
0.238
0.253
0.264
0.248
0.255
0.259
0.245
0.254
0.267
0.243
0.261
X 1
因
2
X 21 X 22 X 2 j X 2n2 T2
X 2
素
水
i
X i1 X i2 X ij X ini
Ti
X i
平
r
X r1 X r 2 X rj X rnr
Tr
X r
其中Xij表示在水平Ai下进行第j次试验的结果(j=1， 2，…，ni，i=1，2，…，r)。
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(Xij X )2
( Xij Xi. Xi. X )2
i1 j1
i1 j1
r ni
r
r ni
( Xij Xi.)2 ni ( Xi. X )2 2
( Xij Xi.)( Xi. X )
i1 j1
i1
i1 j1
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因为
r ni
(Xij Xi.)(Xi. X )
电路的响应时间
类型1 19 15 22 20 18
类型2 20 40 21 33 27
类型3 16 17 15 18 26
类型4 18 22 19
这里，试验的指标是电路的响应时间。电路类 型为因素，这一因素有四个水平。这是一个单 因素的试验。试验的目的是为了考察各种类型 电路的响应时间有无显著性差异。
B3 16,18,21 19,22,22 18,18,18 17,17,17
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这里试验指标是零件的日产量，工人和机器 是因素，它们分别有3个、4个水平。这是一个双 因素试验。试验目的在于考察不同工人在不同机 器上生产零件的日产量有无显著差异。
本节先讨论单因素试验的方差分析。
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（二）方差检验的基本前提：
1、对变量因素的某一个水平，第 i 个水平进
行试验，得到的观察结果 Xi1, Xi2,
X
看作是从
ini
正态总体 N (i , 2 )i 1, 2, r 中取出的一个容
量为ni 的样本，且 i , 2均未知i 1, 2, r 。
2、对于表示r个水平的r个正态 总体的方差，认为都是相等的。
0.262
这里，试验的指标是薄板的厚度。机器为因素，不同的
三台机器就是这个因素的三个不同的水平。我们假定除
机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其他
条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是为了考
察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异。
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2
例2 下面列出了随机选取的、用于计算器的 四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。
第九章 方差分析及回归分析
§1 单因素试验的方差分析
（一）单因素试验
在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素很多。 方差分析是根据试验的结果进行分析，鉴别
各个有关因素对试验结果影响的有效方法。
在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标。影响试验 指标的条件称为因素。因素可分为两类，一类是人们可以 控制的（可控因素）；一类是人们不可控制的。以下我们 所说的因素都是指可控因素。因素所处的状态，称为该因 素的水平。如果在一项试验中只有一个因素在改变时称为 单因素试验。如果多于一个因素在改变称为多因素试验。
单因素试验方差分析的数学模型。
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（三）统计假设
如果要检验的因素对试验结果没有显著影响， 则试验的全部结果X ij 应来自同一正态总体。因此， 提出一项统计假设：所有的X（ij j 1, , ni ;i 1, 2,
, r)都取自同一正态总体N(, 2 ).即
H0 : 1 2 r ; H1 : 1, 2, r中不全相等。
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例3 三名工人分别在四种不同的机器上生产同一种零件， 每人在每台机器上工作3天，其日产量如下表所示：
工人(B)
A1
机
器
A2
(A)
A3
B1 15,15,17 17,17,17 15,17,16
A4 18,20,22
B2 19,19,16 18,15,15 18,17,16 15,16,17
H1 : 1,2 ,
,
不全为零。
r
(1.1) (1.2)
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（四）检验方法
若H 0成立，则r个总体之间无差异。这样，各个X ij
间的差异只是由随机因素引起的，若H
不成立，则
0
所有X
的总变差中，除了随机波动引起的变差之外，
ij
还包含了由于因素的不同水平作用所引起的变差。
r ni
r ni
i1 j1
r
ni
(Xi. X ) (Xij Xi.) 0
i1
j 1
所以
r ni
r
( Xij X )2 ni ( Xi. X )2
Xij ,
j 1
1 ni
X i ni
Xij .
j 1
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利用上面的记号，模型（1.1）可以写成
X ij i ij ,
ij ~ N(0, 2),各ij独立，
i 1, 2, , r, j 1, 2, , ni
r
nii 0.
i 1
而假设（1.2)等价于假设
H0：1 2 r 0,