MS B F 1, MS B MSW MSW
表明数据的总变异基本上是有实验误差和个体 误差造成的，与不同的实验处理关系不大（不同的实 验处理间不存在显著差异）。
二、方差分析的基本假设 1．总体正态分布 2．各实验处理是随机的且相互独立（一般情况 下都能满足）
3．各实验处理内方差一致（需要进行检验）
体测定的性状或观测的项目称为试验指标。由于试验目
的不同 ，选择的试验指标也不相同。
• 2、试验因素(experimental factor) 试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响时， 则称为两因素或多因素试验。试验因素常用大写字母A、 B、C、…等表示。
（1）不同实验处理人数相同时
每组自由度n1-1，n2-1，n3-1…nk-1 组内自由度n1-1+n2-1+n3-1+…nk-1，因为n1=n2=n3=…nk，所以为K（n1） （2）不同实验处理人数不相同时 每组自由度n1-1，n2-1，n3-1…nk-1 组内自由度 n1-1+n2-1+n3-1+…nk-1
治疗方案
X1 30 900 X2 X3 X4 88 7744 78 6084 60 3600
50 2500 18 324
74 5476 38 1444 56 3136 46 2116 66 4356 34 1156
4
5 6 7
58 3364 62 3844 24 576
62 3844 44 1936 66 4356 38 1444 58 3364 52 2704 80 6400
7、方差分析
方差之间的差异分析用F检验，因此，组间与组内方差的
分析也用F检验。方差分析关注的是组间均方是否显著 大于组内均方。因此，常用作单侧检验。
MS B F MSW
MSB F 1, 且MSB显著 MSW MSW
表明数据的总变异基本上是有不同的实验处理
造成的（不同的实验处理间存在显著差异） kj
4.平方和的剖分
• SS（ sum of squares ）表示平方和 • SST（the sum of squares total）总平方和，一个试验中的 总变异。 • SSB（ sum of squares between groups）组间平方和，表 示由于不同的实验处理而造成的变异。（主试） • SSW（ sum of squares within group）试验误差造成的变 异。（被试）
一、各实验处理组样本容量相同
例题：从五所中学同一个年级随机抽取3名学生进 行统一数学测验，结果如下，问五所学校数学成 绩之间有无显著差异？ A B C D E
1
2
76
73
78
81
86
84
3.77*
P<0.05
总变异 7636.9
第二节 完全随机设计的方差分析
单因素完全随机设计的方差分析
(complete randomized design) 把从同一个总体中随机抽取的被试随机地分配 为几个实验组，每个实验组分别接受某一因素的不
同水平的操纵，检验这几个独立样本平均数之间是
否存在显著差异
3、这种两两比较会随着样本组数的增加而加大犯Ⅰ型错 误的概率 用t 检验法进行4个处理平均数间的差异显著性检验，若 两两比较推断正确的概率为95%,则所有比较都正确的 概率为0.956=0.74,则降低了推断的可靠性。
• 几个常用术语: 1、试验指标(experimental index) 为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低 ，在试验中具
2
SSW SST SSB X
( X ) n
2
• （一）．提出假设 • （二）．选择检验统计量并计算 1．分解平方和
总平方和SST
组间平方和SSB 组内平方和SSW
2．分解自由度df
总自由度：dfT=nk-1 组间自由度：dfB=k-1
组内自由度：dfW=nk-k
组内自由度的计算
现代心理与教育统计学
广州大学心理学系 2016/12/01
1
第九章 方差分析（ANOVA）
方差分析又称为变异分析（analysis of
variance，ANOVA），是由斯内德克（George Waddel Snedecor）提出的一种方法。 方差分析通过对多组平均数的差异进行显著 性检验，分析实验数据中不同来源的变异对总变 异影响的大小。
SSW 4786 .5 MSW 251 .9 dfW 19

组内方差
(4)．计算Ｆ值
MS B 950 .1 F 3.77 MSW 251 .9
3．做统计决断,列方差分析表
表9－3 四组记录数据的完全随机设计方差分析表 变异 来源 组间 变异 组内 变异 平方和 2850.4 4786.5 自由度 3 19 22 方差 950.1 251.9 F 值 概率
2.总体变异的构成
总体变异 组间变异： 组内变异：组内变异理论上要求齐性，实际计算 取其均值
3.方差的基本公式
一般总体方差称方差，样本方差称均方
能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将其称
为变异因素或变异来源。
方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种方法
方差分析的思路就是：把整个试验（设有 k 个总体）的样本 资料作为一个整体来考虑。

n
71657 .5 68807 .1 2850 .4
组内平方和
SSW

2 X X 2
n
76444 71657 .5 4786 .5
2 1258 76444
总平方和
SST
2 X X 2
n
23
7636 .9
• SST= SSB+ SSW • 总变异=组间变异+组内变异 • 总变异（SST）是将所有被试的数值作为一个整体考虑到 的结果，是用所有被试的因变量的值计算出来的。 • 组间变异（ SSB ）主要是因为接受不同的实验处理而造 成的各组之间的变异。用两个平均数的离差表示。 • 组内变异（SSW）指组内各被试因变量的差异范围。
把整个试验的总变异按照变异的来源分解成不同因素的变异。 由于方差等于平方和除以自由度，因此总方差分解成各因 素的方差，就是将形成总方差的平方和和自由度分解为各 因素的平方和和自由度。然后对各个因素的方差作出数量 上的估计，从而发现各个因素的方差的相对重要程度。
从总方差中除去各可控因素所引起的方差后，剩余方差 又可以准确地估计试验误差，作为统计假设检验的依据 因此，方差分析可以帮助我们抓住试验的主要矛盾和技 术关键，发现主要的变异来源，从而抓住主要的、实质 性的东西。
• t检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均 数间的差异显著性检验， 但在生产和科学研究中经常 会遇到比较 多个处理优劣的问题， 即需进行多个平均 数间的差异显著性检验(K≥3)。这时，若仍采用t检验 法就不适宜了。这是因为：
1、检验过程烦琐 • 例如，一试验包含5个处理，采用t检验法要进行10次两
（df）
F
p
dfB=k-1 dfW=nk-k dfT=nk-1
F
p
例：研究人员采用四种不同的心理治疗方案，对每个志 愿参加治疗的患者进行心理治疗。他们用录音机记录了 每个被试在一段时间中所讲的词数。由于录音的困难每 种方案记录的人数各不相同，原始数据见表1。问这几 种方案是否有差异？
计算表1
序号 1 2 3
最为重要的假定
三、方差齐性检验 1.哈特莱最大F比率法 找出要比较的组内方差的最大值与最小值。最大方 差与最小方差无显著差异即为方差齐性。
S F S
2 max 2 min
四、方差分析的基本步骤
SST X 2
( X ) 2 nk
SSB
( X ) 2 n

( X ) 2 nk
5.组间方差（组间均方）与组内方差（组内均方）
6.自由度的分解 • 在计算处理间平方和时，各处理均数 要受 这一条件的约束，故处理间自由度为处理数 减1，即k-1。处理间自由度记为dfB，即dfB=k-1。 • 在计算处理内平方和时，每组自由度为n-1,共有k组， 故处理内自由度k(n-1), 处理内自由度记为dfW，即 dfW=k(n-1) =kn-k。
(2)．计算自由度

组间自由度
dfB k 1 4 1 3

组内自由度
dfW n k 23 4 19

总自由度
dfT n 1 23 1 22
(3)．计算方差

组间方差
2850 .4 SSB 950 .1 MS B 3 dfB
两平均数的差异显著性检验；若有k个处理，则要作
k(k-1)/2次类似的检验。
2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性 低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验 误差的估计值。若用 t 检验法作两两比较，由于每次比较 需计算一个s，故使得各次比较误差的估计不统一，同时 没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降 低，从而降低检验的灵敏性。
76 5776
• 1．提出假设 H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4
H1：至少有两个总体平均数不等 • 2．选择检验统计量并计算 假定四组记录数据是从四个正态总体中抽出的独立样本， 对多个独立样本平均数的差异进行显著性检验，应采用 完全随机设计的方差分析。
(1).计算平方和：

组间平方和
SSB

2 2 X X
（二）方差的可分解性（可加性）
1.可加性