平均数（X
）的差。即：
t
X ij X t X ij X j X j X t
例如：X 41 10, X j 13, X t 6.67, 代入公式
10 - 6.67 （10 -13）（13 - 6.67）
3.再看总变异的分解及计算
根据变异的可加性，任何一个原始分数都有：
Xij Xt Xij X j X j Xt
利i用1 平均数离差i1和等于零，上式可以简化为
n
2
n
2
2
X ij X t
X ij X j n X j X t
对i于1 K组数据，把开i组1 相加，可得：
k n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
kn
2
k
2
X ij X t
X ij X j n
X j Xt
j 1 i1
j 1 i1
j 1
Fmax Fm , a（x 0.05） 接受虚无假设H 0，即方差齐性。
第二节 完全随机设计的方差分析
简介： 完全随机设计方差分析就是对单因素组间设计的方差
分析。 在这种实验设计中，只有一个实验变量，这个实验变
量有多个水平，每个被试只接受一种实验处理。
一、各实验处理组样本容量相同
各个样本容量相等时意味着对于每一种实验处理它们 的被重复次数相同，或者说被试相同。
816 802 816 6400 282.67
12
12
SSB
X2
n
X
nk
2 ( 2704 400 64) (52 20 8)2
4 44
3 4
792 6400 258.67 12
SSW
X 2
X
n
2
816 792 24
（二）自由度的分解
总自由度为总容量减去1。本例有12个数据，所以：
/
4
5
S
2 B
102
20 2 4 1
/4
0.66
S
2 C
18 82 / 4 4 1
0.66
3.计算Fmax的值和决策
Fm a x
5 0.66
7.5
当k 3, df n 1 3(因为两组样本相同）
查附表5Fm a（x 0.05） 15.5 取df 4时的值，因为附表没有df 3
F= MSB / MSW
F<1，说明组间方差比例很小；
F=1，说明组间方差和组内的方差比例差不多；
F>1, 且落入到临界区域，说明组间方差够大了。
二、方差分析的基本过程与步骤
（一）求平方和 （二）计算自由度 （三）计算均方（方差） （四）计算F值 （五）查F表进行F检验并做决断 （六）列方差分析表
SSW X 2
X
n
2
555 525.00 30
或者SSW SS T SS B 73.33 43.33 30
2.计算自由度
df N 1 15 1 T
df k 1 3 1 2 B
df k (n 1) 3 (5 1) 12 W
3.计算均方
MS b
从数据可知：不仅组与组之间数据存在不同，而且同 一组被试内部也存在着不同。
1.前者称组间变异，因听了不同的噪音而不同。 2.后者称组内变异，因个案本身的不同而造成的不同。 3.而每个数据之间的差异叫做总变异。 可以知道：总变异=组间变异+组内变异
一般而言:
1.组间变异是我们想要的结果，即实验条件产生了作 用才会令各组之间的数值存在差异。它越大越好！
Xt )
组间变异的数学意义是每一组的平均数（X
）与总平
j
均数的离差，记为： X j X t
组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组
平均数（X j ）的离差，记为：X ij X j
2. 先看某一个数据的情况
分析可知，任一个数据（X ij）与总平均数的差异等
于他与本组平均数（ X j ）之差加上小组平均数与总
看一个例子9-1：不同噪音强度下解数学题犯错频次
噪音（分贝） K=3
强（100（A) 中（50）（B） 无（C）
16
4
1
n=4
14
5
2
12
5
2
10
6
3
Xj
13
5
2
X t 6.67
图9-1 数据变异示意图
X j 13
强噪音组 中噪音组 无噪音组
X j 5
Xt 6.67 Xj2
（一）数据变异文字层面上的分解
原始数据与计算的中间结果如下表
(X )2
积极反馈组
X
X2
8
64
7
49
9
81
10
100
6
36
40
330
1600
消极反馈组
X
X2
5
25
6
36
7
49
4
16
3
9
25
135
625
控制组
X
X2
2
4
4
16
5
25
3
9
6
36
20
90
400
设虚无假设和备择假设分别如下：
H 0 : P N C
H : （P、N、C 分别表示积极反馈组、消极反馈组和控制反馈组）
如例9-1，每一种学习方法均重复了4次。
例题：9-2
有人研究自尊与对个人表现的反馈类型之间的关系。 让15名被试参加一项知识测验，每组各5个被试。在 积极反馈组，不管被试在测验中实际表现如何，都告 诉他们水平很高。对消极反馈组的被试，告诉他们表 现很差。对控制组的被试，不管测验分数如何，都不 提供任何反馈信息。最后让所有的被试都参加一个自 尊测验，测验总分为10分，得到的分数越高，表示自 尊心越强。实验结果如下表所示，试检验不同反馈类 型与自尊之间的关系如何？(p273)
SS b df
43.33 2
21.67
b
MS w
SS w df
30.00 12
2.50
w
4．计算 F 比值，进行 F 检验，做出决断
F MSb 21.67 8.67 MSw 2.50
F 查 F 表，
3.88 ，算得的 F 值大于临界值，p<0.05，
0.05(2,12)
可以拒绝虚无假设，下结论认为在反馈类型与自尊之间存在 着某种关系。
（五）查F分布临界值做出判断 当dfB=2, dfW=9，设定p=0.01， 查表F0.01（2,9）=8.02，检验值是F=48.44>8.02
F0.01（2,9）=8.02
（六）陈列方差分析表
变异来源 平方和 自由度 均方
F
p
组间
258.67 2
129.34 48.44 0.01
组内
H0
:
2 1
2 2
2 3
2 n
方差齐性检验的方法——哈特莱（Hartley）检验法
Fm a x
S
2 max
S
2 max
df nmax 1
对表9-1的方差齐性的检验 1．建立假设
H0
:
2 1
2 2
2 3
H1 : 至少有两个总体的方差 存在差异
2.计算各组的方差
S
2 A
696
52 2 4 1
dfT=12-1=11
组间自由度为组数（k）减1，本例有3个组，所以：
dfB=3-1=2
组内自由度为总容量减组数或用总自由度减去组间自
由度，即有：dfW=dfT-dfB=11-2=9
（三）计算均方 均方是平方和除以自由度 组间均方：MSB=SSB/dfB=258.67 / 2=129.34 组内均分：MSw=SSw/dfw=24 / 9=2.67 （四）计算F值 F= MSB / MSW=129.34 / 2.67=48.44
差异）造成的误差。
在SST一定的情况下，SSB所占比例越大，则SSW的 值就越小，相应的SSB与SSW的比值就会越大，如果 足够大到某个临界值的话我们就可以认为总平方和 SST的变异主要是来自SSB，即组间变异。
如果变异主要来自组间，则可以认为实验条件的不同 确实造成了被试错误的频次的不同。这就是方差分析 的基本原理。
X
2
X
n
2
表格9-1的计算
噪音k=3
强
中
无
X
X2
X
X2
X
X2
16
256
4
16
1
1
n=4
14
196
5
25
2
4
12
144
5
25
2
4
10
100
6
36
3
9
52
696
20
102
8
18
X 2
2704
400
64
以表9-1为例
SST
X2
X
nk
2
(619 102 18) (52 20 8)2 3 4
对容量为n的某一小组而言，则有：
n
n
X ij X t
X ij X j X j X t
i 1
i 1
为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有：
n
2
n
2
X ij X t
X ij X j X j X t
i 1
i 1
对公式做整理
n
2
n
2
Xij Xt Xij X j X j Xt
5.列出方差分析表