1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷)
一. 填空题（每小题2分, 共10分）
1. 设⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________.
2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________.
3. 已知),(cos 4422x o bx ax e
x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos
2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________.
二. (9分) 求极限 21
0)sin (cos lim x
x x x x +→.
三. (9分) 求不定积分⎰+dx e x
x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值.
五. (8分) 判断2
12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx
y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1
22⎰--∞+x x dx (2) .1)2(1
0⎰--x x dx
八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受
到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形)
九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解.
十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x
a +=+⎰)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线
)(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6
7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1
21
=⎰xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使
.1)(='ξf。