6
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；
y2 25
x2 16
1
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过
P(2,3)点；
x2
y2
1
16 12
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3). x2 + y2 =1
49
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
2
♦椭圆的标准方程的特点： Y
YM M
F2(0 , c)
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
O
X
F1(0,-c)
x2 a2
y2 b2
1(a b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反 之求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点就在哪一
个轴上。并且哪个大哪个就是a2
3
跟踪练习：
1、已知椭圆的方程为：x2 y 2 1 ，则 a=____5_，b=____2___，c=4____51___，焦点坐标为：
即 x2 + y2 =1,∴点M的轨迹是一个椭圆. 9
例3 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.
直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 4 ，求
点M的轨迹方程.
9
y M
A
o
Bx
10
四、焦点三角形面积问题
例：设F1，F2是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个焦点，M为椭圆上的点，
若MF1 MF2，则MF1F2的面积为_____
2.2椭圆及其标准方程第2课时
1
复习回顾
标准方程
不
图形
同
点
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2 y P
F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2 P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
若改为∠F1MF2＝60°呢？
y M
F1 o F2
x
11
[例 2] 如图所示，已知椭圆的方程 为x42＋y32＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2
为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，
求△ PF1F2 的面积． [思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要
求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2| ＝2a，并结合余弦定理求解．
0
0
点P的坐标为(x ,0).
uuur uuuur 0
由PM = 2MP得：(x - x , y - y ) = 2(x - x,-y)，即
0
0
0
x y
-
x 0
y 0
= =
2(x 0
2(-y)
x) ,
即
x = x, y = 3y.
0
0
∵P(x , y )在圆x2 + y2 = 9上, 代入得
0
0
x2 + 9y2 = 9，
五、与椭圆有关的轨迹
例2 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，向x轴作垂线段
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？
解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为 x0, y0 相
则
x x0 ,
y y0 2
关
yP法
Q P( x0 , y0 )在圆x2 y2 4上
x02 y02 4
将x0 x , y0 2 y代入上述方程
M
x
0D
得 x2 4 y2 4即 x2 y2 1 4
8
变式引申：已知圆x2 + y2 = 9,从这个圆上任意一点 uur uuur
P向x轴作垂线PP，点M在PP上,并且PM = 2MP,求点 M的轨迹.
解：设点M的坐标为(x, y),点P的坐标为(x , y )，则
变4：方程
x2 25－m
＋
y2 16＋m
＝1
，分别求方程
满足下列条件的m的取值范围：
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
③表示焦点在x轴上的椭圆。
类型 用待定系数法求椭圆的标准方程 [例 3] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称 轴，且经过 P1( 6，1)，P2(－ 3，－ 2)两点，求椭圆的 标准方程． (2)已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点 Q(2,1)且与椭圆x92＋y42＝1 有公共的焦点，求椭圆的标准 方程．
即|PF2|＝4－|PF1|.
②
将②代入①解得|PF1|＝65，
∴S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|·sin
120°＝12×65×2×
23＝3
5
3 .
因此所求△PF1F2 的面积是35 3.
[总结] 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的 △ F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时 要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾 股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可 利用 S＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2 求面积，这时可把|PF1|·|PF2|看 成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1||PF2|及余弦定 理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少 运算量．
[精解详析] 由已知 a＝2，b＝ 3，
所以 c＝ a2－b2＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△ PF1F2 中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.
①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
_____(_0,_-1_)_、__(0焦,1)距等于_______2___;曲线上一点P
到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距
离等于______2__5_， 3则△F1PF2的周长为
___2__5___2___
y
F2 P
O
x
F1
练习.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上； x2 y2 1