线性代数第二节逆矩阵及其运算一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵线性代数（或称的逆）；其中为的倒数，a 11a a -=a ,111aa a a --==在数的运算中，对于数，有是否存在一个矩阵,.11AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A ，1A -使得一、逆矩阵的概念和性质0a ≠线性代数对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。

,AB BA E ==例1设,01011010A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。

定义1（可逆矩阵）线性代数例1 设,2110A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭解设是A 的逆矩阵,a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭则2110a b AB c d ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1001⎛⎫= ⎪⎝⎭221001a c b d ab ++⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求A 的逆矩阵线性代数,,,,212001a c b d a b +=⎧⎪+=⎪⇒⎨-=⎪⎪-=⎩,,,.0112a b c d =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-01120112-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1001⎛⎫= ⎪⎝⎭所以.10112A --⎛⎫= ⎪⎝⎭A BA B (待定系数法)线性代数注：不是每个非零矩阵都有逆矩阵。

0102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭例如11AA A A E --==不论一个怎样的矩阵的第一列全都是零。

因此，不可能有一个矩阵, 使,B 1A -BA线性代数定理1若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是惟一的.,,AB BA E AC CA E ====又B EB =()CA B =()C AB =.CE C ==所以A 的逆矩阵是惟一的,即B C=证明:设B 和C 是A 的逆矩阵，则有以后，把A 的逆矩阵记为。

1A -线性代数逆矩阵的运算性质A ().11A A --=(1)若可逆，则也可逆，且1A -证明可逆，则有逆矩阵，使A 1A -11AA A A E--==成立由定义也可逆，且1A -().11A A --=线性代数().111AB B A ---∴=()()11AB BA --1AEA -=,1AA E -==证明().11111122m m A A A A A A ----=()11A BB A --=()()11B A AB --()11B A A B --=1B EB E -==推广()111B B A A ---=（2）若n 阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且线性代数()()11A A A A --'''=E E'==()().11A A --''∴=证明(3) 若可逆，则也可逆，而且A A '()()11A A --''=()()11A A AA E--'''==线性代数二矩阵可逆的条件定义 2 (n 阶矩阵的行列式)111212122212n n n n nna a a a a a a a a 设是一个n 阶矩阵，按诸原来的位置，正好()ij A a ij a 叫做A 的行列式，记为A对应一个n 阶行列式线性代数定理2对任意两个n 阶矩阵A 、B ，恒有AB A B=证明：设()()(),,ij ij ij A a B b C AB c ====111111110000011n n nnn nnna a a a Ab b EBb b =---构造2n 阶方阵线性代数作列的变换将行列式中的B 的元素全部化为000A A C EBE=--由Laplace 定理()(122)1n A B E C+++=--n(2n+1)=(-1)(1)nC-C AB==则有线性代数112111222212n n n nnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭给定n 阶矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭中的元素A ij 为中元素a ij 的代数余子式。

A *A 称为A 的伴随矩阵，定义3（伴随矩阵）线性代数A 定理3矩阵可逆的充要条件是，且,11A A A -*=0A ≠其中为矩阵A 的伴随矩阵。

A *A 证明: ( 必要性)若可逆，则有，使1A -,11A AE -∴⋅==.0A ≠.1AA E -=从而线性代数111211121121222122221212n n n n n n nn n nnn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A *⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭0(充分性)设。

0A ≠A 0A A A A E =AA A A A E **∴==,A A A A E A A **⇒==.1A A A*-=由逆矩阵的定义A 可逆，且证毕同理可以计算A A A E*=,1AB A B E =⋅==,0A ≠故,1A -因而存在于是().1AB E BA E B A -==⇒=若或定理4证明:B EB =()1A AB -=()1AAB -=11A E A--==证毕由于AB E=线性代数三、用伴随矩阵法求逆矩阵根据定理3若A 可逆，则,11A A A-*=其中为矩阵A 的伴随矩阵。

A *线性代数解313413314A =,10=-≠.1A -∴存在,1113114A ==,1243734A =-=-例2 求方阵,313413314A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1234B ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵.线性代数同理可得,,,,132122231130A A A A ==-==,,,313233031A A A ===-,110733101A *-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭得故11A A A -*=110733101-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.110733101-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭线性代数122034B ==-≠.1B -∴存在得112112224231B B B B B *-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭14211312B B B -*-⎛⎫==- ⎪-⎝⎭()12234B ⎛⎫= ⎪⎝⎭线性代数,,.1112212215321414x x A X B x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3 解方程，其中AX B =解方程两端左乘矩阵,11514--⎛⎫⎪-⎝⎭111515153214141414X -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得E线性代数45321114--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.172846--⎛⎫= ⎪--⎝⎭115321414X --⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性代数四、矩阵的初等变换和初等矩阵12312313231(1)425 1 (2)2 21(3)x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩(1)(2)(2), (1)(1)(3)⨯-+⨯-+用消元法解线性方程组1232323231(1)4 2 (4) 5(5)x x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解：得线性代数(4)(5)↔1232323231(1) 5 (5)4 2(4)x x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩(5)(4)(4)⨯-+123233231(1) 2 (5)318(6)x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩1(6),3⨯123233231(1) 2 (5) 6(6)x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩线性代数反复做下面三种变换：3 交换某两行。

1 用非零实数乘以某行。

2 将某行的倍数加到另一行。

其实质是对矩阵作如下三种变换：()A b 3 交换两个方程。

1 用非零实数乘以某个方程。

2 将某个个方程的倍数加到另一个方程。

总结：消元的过程实际上是对方程组线性代数定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.定义：将如下变换统称为初等变换3 交换两行（列）。

1 用非零实数乘以某行（列）。

2 将某行（列）的倍数加到另一行（列)。

类型Ⅰ第一类初等矩阵由交换单位阵E 的两行（列）得到。

010100001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭类型Ⅱ第二类初等矩阵由单位阵E 的某行（列）乘以一个非零常数得到。

例100010003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12R =12C =R 3③==C 3③例类型Ⅲ第三类初等矩阵由单位阵E 的某行（列）的倍数加到另一行（列)得到。

例103010001⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭R 3③+①==C 3①+③线性代数定理5 A 为任意矩阵，则A 的任一初等行变换就相当于A 的左边乘以一个相应的初等矩阵；A 的任一初等列变换就相当于A 的右边乘以一个相应的初等矩阵。

111213212223212223111213313233313233a a a a a a a a a a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）010100001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性代数111213111112132122232121222331323331313233a a a a a a a a a a a a a a aa a aa a a μμμ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（3）10010001μ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111213111213212223212223313233313233a a a a a a a a a a a a aa a aa a λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）10000001λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性代数设矩阵练习111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12010100100,010001101P P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有12211221(1).(2).(3).(4)AP P B AP P B P P A B P P A B====线性代数定理6 若A 为初等矩阵，则A 是非奇异的，1A -且为一与它同类型的初等矩阵。

下面举例说明100001010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭②③E100001,010A E ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭1100001010A -⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭ⅠⅡ020001A ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭显然AE②×12即100100,2001A E ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故1100102001A -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Ⅲ010201A ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭AE①()2⨯-+③100010,201A E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭显然即故1100010201A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭线性代数定理1n 阶可逆矩阵A 恒为若干个初等矩阵之积。