第二部分 矩阵及其运算作业
（一）选择题(15分)
１．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（ ）
(A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E =
２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （ ）
(A)至多一个等于零 (B)都不等于零
(C) 只有一个等于零 (D) 都等于零
３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（
） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA
=
４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（ ） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A
５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ）
(A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+
(C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+
（二）填空题(15分)
１．设A ，B 均为3阶矩阵，且1
,32A B ==，则2T B A = 。

2．设矩阵1123A -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
232B A A E =-+，则1B -＝ 。

３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝ 。

４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝ 。

５．设101020101A ⎛
⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，2n ≥为整数，则12n n A A --＝ 。

（三）计算题(５０分)
1． 设010111101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,112053B -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,且X AX B =+，求矩阵X 。

２．设101110012A 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫，301110014B 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫
，X 为未知矩阵，且满足：AX B =， 求逆矩阵1A -；并解矩阵方程AX B =。

３．设A 为n 阶正交矩阵，即T A A E =，且0A <，计算A 和E A +的值。

４．设11111
1111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，12A X A X *-=+，求矩阵X 。

５．1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求1()A *-
（四）证明题(２０分)
１．设A 为n 阶方阵，且2
34A A E O --=，其中E 为n 阶单位矩阵，证明：A 可逆，并求1A -；若2A =，求68A E +的值。

２．设A ，B 为n 阶方阵，A B E +=，证明：AB BA =。

自测题参考答案：
（一）１．(C) ２。

(D) ３． (D) ４．(A) ５．(B)
（二）１．48 2． 10211⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭ 3．-8 4．21123n --⨯ 5．000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（三）１．131()2211X E A B -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭
２．1211221111A -骣--÷ç÷ç÷ç÷=--ç÷ç÷ç÷÷ç-桫
1X A B -=＝211301522221110432111014223骣骣骣----鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?--=--珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?鼢?珑?--桫桫
桫 ３．1A =-，0E A += 提示：由于2
1T T AA A A A E ====，则1A =±，因为0A <，所以1A =-； 因为T T T E A A AA A E A E A E A +=+=+=-+=-+ 所以0E A +=。

４．11010114101X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（提示：因为AA A A A E **==，
方程两边左乘A ，1
(2),(2)A E A X E X A E A --==-） ５．1521()22
0101A *---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
（提示：AA A A A E **==，11()A A A *-=，由于1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，用初等变换可求出 52112202101A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而12A =，所以1521()220101A *---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭） （四）１．11(3)4
A A E -=-，2682n A E ++= 提示：因为21334,()44A A E O A A E E --=-=，所以11(3)4
A A E -=-
222268626222n n A E A A A A A ++=+-=== ２．提示：因为,,A B E A E B B E A +==-=-， 于是()()BA E A E B E A B AB AB =--=--+=。