注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加. 例1 设
1 2 3 1 0 2 A , B , 4 5 6 1 3 0
2 2 5 则 A B 3 8 6
元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为0. 注意:阶数不同 的零矩阵是不同的. 设A=(aij)m×n, 称矩阵(aij)m×n为A的负矩阵, 记 A. 定义两个矩阵的减法为: BA=B+( A). 矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C是同阶矩阵): (ⅰ)交换律：A+B=B+A
aij=bij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n), 则称矩阵A与B相等, 记为
A=B. 两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同 而且对应的元素完全相等.
二、加法 设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n, 则矩阵C=(cij)m×n (其中cij =aij+bij , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) 称为A与B的和记作A+B.
n
... c1 p ... c2 p ... ... ... cmp
其中
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... ainbnj aik bkj
k 1
注意: 矩阵A, B能够乘积的条件是矩阵A的列数等于矩阵B 的行数, 且乘积矩阵与A,2,3; j=1,2,3,4).
容易知道, X厂关于材料费, 劳动力及管理费的一月份
总成本为: 材料费: 1 2000 2 1500 11800 2 2200 11200元) ( 劳动力成本: 3 2000 2 1500 2 1800 1 2200 14800(元)
其中矩阵B的第i行, 第j列元素表示第j个工厂二月份生 产第i个产品的数量(i=1,2,3,4; j=1,2,3)．
则, 前两个月公司的总产量可表示为
3800 3100 C A B 3800 4600 5600 4600 3400 3200 3000 4800 3800 3000
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为:
a11 a 21 A ... a m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn
组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的
其中矩阵C的第i行, 第j列元素表示第j个工厂前二个月
生产第i个产品的数量(i=1,2,3,4; j=1,2,3)．
如果公司每个月的产量都和一月份产量相同，则公司 半年的产量可用矩阵表示为
12000 9000 D 6A 10800 13200 18000 14400 9600 10800 9600 13200 12000 8400
a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n b11 b12 b ... a2 n 21 b22 ... ... ... ... ... amn bn1 bn 2 ... b1 p c11 c12 ... b2 p c21 c22 ... ... ... ... ... bnp cm1 cm 2
数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是同阶矩阵)
（ⅰ）1A= A
（ ⅱ ）结合律：(kl)A=k(l A) （ ⅲ ）数的分配律： (k+l) A=kA+lA （ ⅳ ）矩阵的分配律： k(A+B)=kA+kB.
例如, 前面提到公司一月份的产量矩阵可表示成：
2000 1500 A 1800 2200 3000 2400 1600 1800 1600 2200 2000 1400
管理费: 2 2000 11500 2 1800 2 2200 13500元) ( 于是可得, 三个工厂一月份关于材料费, 劳动力成本,管
理费的总成本可用下述矩阵表示
11200 14800 13500 Q 13000 18800 15200 10800 14600 12200
2000 1500 上面的产量表可以用矩阵表示为 A 1800 2200
3000 2400 1600 1800
1600 2200 2000 1400
其中矩阵A的第i行, 第j列元素表示第j个工厂一月份生 产第i个产品的数量(i=1,2,3,4; j=1,2,3)．
第二章
矩
阵
§1 矩阵的概念及其基本运算 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数 定义2.1 由m×n个数aij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成 中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论
的m行n列的数表 矩阵的基本运算、逆矩阵、分块矩阵以及初等变换和初等
a11 a12 ... a1n 矩阵。重点是逆矩阵的计算和矩阵方程的求解以及初等变 a21 a22 ... a2 n 换和初等矩阵之间的关系。 ... ... ... ... a m1 am 2 ... amn
例如, 前例中的成本矩阵
11200 14800 13500 Q 13000 18800 15200 10800 14600 12200
就是单位成本矩阵
1 2 1 2 P 3 2 2 1 2 1 2 2
2000 1500 A 1800 2200 3000 2400 1600 1800 1600 2200 2000 1400
a11 a21 A ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... amn a11 T a12 A ... a1n a21 ... am1 a22 ... am 2 ... ... ... a2 n ... amn
其中矩阵A的第i行, 第j列元素表示第j个工厂一月份生 产第i个产品的数量(i=1,2,3,4; j=1,2,3)． 类似地, 如果将该公司二月份产量表示成矩阵
1800 1600 B 2000 2400 2600 2200 1800 1400 1400 2600 1800 1600
解
12 24 AB 12 6
0 0 BA 0 0
由例题可见，即使AB与BA都是2阶方阵, 但它们还是 可以不相等。所以，在一般情况下AB≠BA。 另外，虽然 A≠O，B≠O，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出 A和B中有一个是零矩阵的结论。而若A≠O，由AX=AY 也不能得到X=Y的结论。
组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的
第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) m×n或A m×n 。
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素为复数的矩阵称
为复矩阵，本课除特殊说明外都讨论实矩阵。
下面介绍矩阵的基本关系及运算 一、相等 设有两个矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)s×t, 如果m=s, n=t,
矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)： （ⅰ）结合律：(AB)C= A(BC) ; （ ⅱ ）分配律：A(B+C)= AB+AC ;
(B+C)A= BA+CA;
（ ⅲ ）数的结合律：k(AB)=(kA)B=A( kB);
五 矩阵的转置
设矩阵A=(aij)m×n, 则矩阵B=(bij)n×m(其中bij =aji , i=1,2,…,n, j=1,2,…,m) 称为A的转置, 记作B=AT,或A, 即
与产量矩阵
的乘积, 即: Q=PA.
例2 设
1 2 3 A , 4 5 6
求AB. 解
1 0 1 B 0 1 2 3 1 0
1 0 2 1 3 1) 1 (1) 22223300 11 2 0 3 3 1 0 2 1 3 ((1) 11((1)2230 1) AB 0 4 1 5 0 6 3 4 0 5 1 6 (1) 4 (1) 5 2 6 10 1 3 22 1 6
(ⅱ) 结合律: (A+B)+C=A+(B+C)
(ⅲ) A+0=A (ⅳ) A+( A)=0
三、数乘法 设k为数, A=(aij)m×n为矩阵, 则矩阵(kaij)m×n 称为k与 A的乘积记作kA或Ak. 即
ka11 ka21 kA Ak ... kam1 ka12 ka22 ... kam 2 ... ka1n ... ka2 n ... ... ... kamn
即
a11 b11 a 21 b21 AB ... a b m1 m1 a12 b12 a 22 b22 ... a m 2 bm 2 ... a1n b1n ... a 2 n b2 n ... ... ... a mn bmn
如果生产四种产品P, Q, R, S每种产品的材料、劳动力
及管理费的单位成本为(单位:元):
成本 P
材料费 劳动力成本 1 3
产 Q
2 2
品 R
1 2
S
2 1
管理费
2
1
2
2
可以用矩阵表示为
1 2 1 2 P 3 2 2 1 2 1 2 2
其中矩阵P的第i行, 第j列元素表示生产第j种单件产品的
其中矩阵Q的第i行, 第j列元素表示第j个工厂一月份第i 项总成本费用. (i, j=1,2,3).
四、乘法 设矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, 则矩阵C=(cij)m×p (其 中cij =aikbkj , i=1,2,…,m, j=1,2,…,p) 称为A与B的乘积, 记作C=AB. 即