概率知识要点
一、随机事件的概率
1事件的有关概念
(1)必然事件：一般地，把在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。
简
称必然事件
(2)不可能事件：把在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。
简称不可能事件
(3 )确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。
(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。
简称随机事件(5)事件及其表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、B、C,…,表示
2随机试验
对于随机事件，知道它的发生可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，
最直接的方法就是试验
一个试验如果满足下述条件：
(1 )试验可以在相同的情形下重复进行；
(2 )试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；
(3)每次试验总是出现这些结果中的一个，但是一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果
我们称这样的试验为随机试验
3频数、频率和概率
(1)频数：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数。
(2)频率：在相同条件S下重复n次试验，时间A出现的比例f n(A) 皿称为事件A出现的频
n
率
(3)概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值
5互斥事件与对立事件
(1)互斥事件A与事件B互斥：A B为不可能事件，即A B ，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。
(2)对立事件A与事件B互为对立事件： A B为不可能事件，
A B为必然事件，即事件
A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
6概率的几个基本性质
(1)概率P(A)的取值范围：0 P(A) 1 .
(2)必然事件E的概率为1 ,即P(E) 1 .
(3)不可能事件F的概率为0.即P(F) 0 .
(4)若事件A与事件B互斥时，P(A B)=P(A)+P(B)――概率的加法公式。
(5)事件B与事件A互为对立事件，则A B 为必然事件，所以P(A B)=P(A)+P(B)=1，
从而P(A)=1 - P(B)
二、古典概型
1、古典概型的概念
(1 )基本事件
一次试验中可能出现的每一个结果陈为一个基本事件
(2 )基本事件的特点
①任何两个基本事件都是互斥的，一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件。
②基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
(3 )古典概型的定义
①试验中所以可能出现的基本事件只有有限个②每个基本事件出现的可能性相等
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，检查古典概型。
古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有两个：①有限性；②等可能性
2、古典概型的概率计算公式
般地，如果一次试验中共有n种等可能的结果，那么每一个基本事件发生的概率都是如果事件A 包含的结果有m个，那么事件A发生的概率P(A)
三、几何概型
1、基本概念
(1)几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比
例，则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2 )几何概型的概率公式：构成事件A的测度(面积或体积)
()试验的全部结果所构成的总测度(面积或体积)
(3)几何概型的特点:
①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等
四、条件概率与相互独立事件同时发生的概率
1、条件概率
(1)条件概率的定义：设A,B为两个事件，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率记作P(B A),读作“ A发生的条件下B的概率”
注意：已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B A)相当于把A看做新的
n()
1 n m n
A包含的基本事件个数总的基本事件个数
基本事件空间来计算AB发生的概率，即
n (AB)
P(B
n() P(AB)
n(A) P(A)
(2)条件概率的性质
①0 P(BA) 1
②如果B和C事两个互斥事件，则P(B C A) P(B A) P(C A)
2、事件的独立性
(1)相互独立事件
设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(BA)=P(B),这是我们称两个事件A,B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。
一般地，当事件A,B相互独立时，A与B , A与B, A与B也都相互独立
3、独立重复试验
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都
只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中某事件发生的概率均相等。
(2)在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那
么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X k) C n k p k(1 p)n k,
k=1,2,…,n。