第二章质点运动学习题解答2.1.1质点的运动学方程为(1);(2)求质点的运动轨迹并用图表示。
解:(1)则轨迹为 y =5 的直线(2)则轨迹为2.1.2质点运动学方程为(1).求质点轨迹。
(2)求自t= -1至t= 1质点的位移。
解:(1)z=2则xy=1 z=2即为轨迹 z=2 平面上的双曲线(2)t=-1时, z=2t=1时,,,则位移2.1.3质点的运动学方程为。
(1)求质点的轨迹。
(2)求自t=0至t=1质点的位移。
解:(1)轨迹为(2)时时则大小方向与x轴夹角为26o36′2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为,度。
0.75S 后测得,度,、均在铅直平面内。
求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向(α角)。
解:瞬时速率飞行方向:由,2.2.2一小圆柱体沿岸抛物线轨道运动,抛物线轨道为(长度:mm)。
第一次观察到圆柱体在x=249米处,经过时间2ms后圆柱体移到x=234米处。
求圆柱体瞬时速度的近似值。
解:由轨迹方程,,,,瞬时速度的方向:2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐,离演奏者17米,另一人在广州听同一演秦的转播,广州离北京2320km,收听者离收音机2米,问谁先听到声音?声速为340m/s。
电磁波的传播速率为30万km/s。
解:在广州的听众先听到。
2.2.5火车进入弯道时减速,最初列车向北以90km/h.速率行驶,3min后以70km/h速率向北偏西30度方向行驶.求列车的平均加求速度。
解:方向:(正南偏西)2.2.6 (1) ,R为正常数.求(1)t=0,π/2时的速度和加速度。
(2).求t=0,1时的速度和加速度.(写出正交分解式)。
解:由(1)t = 0时,t = 时,t = 0 时,t = 时,(2)t = 0 时,t = 1时,t = 0 时,t = 1 时,2.3.1图中a、b、c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x—t图。
是说明三种运动的特点(即速度,计时起点时质点的位置坐标,位于坐标原点的时刻)。
解:a:运动方程,b:运动方程,c:运动方程,2.3.2质点直线运动的运动学方程为,a为正常数.求质点速度和加速度并讨论运动特点(有无周期性,运动范围,速度变化情况等)。
解:由,即运动学方程具有周期性,周期为2π,运动范围:速度变化情况:[-a,a]范围按正弦规律变化。
2.3.3跳伞运动员的速度为,v铅直向下,β、q为正常量,求其加速度,讨论当时间足够长时(即t→∞),速度和加速度的变化趋势。
解:2.3.4直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站.列车原运动速率为 v0=180km/h ,其速率变化规律如图所示。
求列车行至x=1.5km 时加速度的大小。
解:由x = 1.5km 时,,则 ax = -0.747 m/s2。
2.3.5在水平桌面上放置的A,B 两物体,用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们联结起来.C 点与桌面固定.已知物体A 的加速度的求物体B 的加速度。
解:建坐标系o-x , A 、B 、C坐标分别为,,,滑轮半径为r ,绳长为L绳不伸长:∴2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2.(1).坐标原点沿Ox 轴方向移动2米,运动学方程如何?初速度有无变化?(2).将计时起点前移1s,运动方程如何?初始坐标和初速度都发生什么样的变化?加速度变不变?解:(1)即,初速度无变化。
(2)即初始坐标:初速度:原来初始坐标:初速度:加速度:改变计时起点后:没有变。
2.4.1质点由坐标原点出发时开始计时,沿x轴运动,其加速度.在下列两种情况下质点的运动学方程,出发后6s时质点的位置,在此期间所走过的位移及路程;(1) 初速度;(2) 初速度的大小为9cm/s, 方向与加速度的方向相反.解:(1)则:(2)则:出发6s时的位置:位移:由路程:2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为。
求至时间内的位移。
解:由=3(0.28+0.99)=3.812.4.3质点作直线运动,其瞬时加速度的变化规律为在t=0时,x=A,其中A, ω均为正常数,求此质点的运动学方程。
解:由由初始条件,t=0,vx = 0 求得 C = 0则由初始条件,t=0,x = A 求得则x = Acosωt2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动.刚着陆时,t=0时速度为且坐标为x=0.假设其加速度为,b=常量.求飞机速度和坐标随时间的变化。
解:t=0时2.4.5在195m长的坡道上,一人骑自行车以18km/h的速度和的加速度上坡,另一自行车同时以5.4 km/h的初速度和的加速度下坡。
问:(1)经过多长时间两人相遇;(2)两相相遇时,各走多少路程。
解:以斜面底端为坐标原点,沿斜面建o-x坐标系单位换算:18km/h=5m./s5.4km/s=1.5m/s上坡人:减速运动下坡人:加速运动此时二人还未相遇,而此后上坡人开始向反方向运动上坡人:下坡人:相遇时,可得:t=30s求路程:时上坡人停止此时路程为s1ˊ,停止后返回得路程为s1″则:2.4.6站台上送行的人,在火车开动时站台在第一节车厢的最前面,火车开动后经过Δt=24s,第一节车厢的末尾从此人的面前通过,问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车作匀加速运动。
解:以人站的位置为原点,建立坐标o-x,t时刻第一节车厢前沿的运动方程:设车厢长,第一节通过时间第七节通过时间:2.4.7在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率上抛二石子, 但在高处的石子早t0s被抛出.求二石子何时何处相遇.解:建坐标系:O-y以从高处抛出石子秒后开始计时,低处石子抛出点坐标:高处石子抛出点坐标:则:相遇时:可得:2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降,小孩在电梯中跳离坡板0.50m高,问当小孩再次落到地板上时,电梯下降了多少距离?解:设小孩初始坐标为,电梯的速度为,小孩再次落到地板上时地板的坐标.解:(1)以电梯为参考系:落到地板上时: y = 0则:t= 0.64s(2)再以地面为参考,电梯下降:2.5.1质点在O-xy平面内运动,其加速度为,位置和速度的初始条件为t=0时. . 求质点的运动学方程并画出轨迹(本题用积分)解:由2.5.2在同一竖直面内的同一水平线上A,B两点分别以30度,60度为发射角同时抛出两小球,欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点,求A,B两点间的距离,已知小球在A点的发射速率。
解:建坐标如图:A、B的运动学方程:A、B相遇时,所用时间相同。
A: 则B: 则相遇时:, 则, t = 0.5 s2.5.3迫击炮弹的发射角为60度,发射速率为150m/s,炮弹击中倾角30度的山坡上的目标,发射点正在山脚,求弹癯点到发射点的距离OA.解:建坐标系 o-xyA 点坐标(x,y)则则= 1297.5 m= 750 m OA = 1500 m2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53度俯冲时,在763m的高度投放炸弹,炸弹在离开飞机5.0s 时击中目标,不计空气阻力.(1)轰炸机的速率是多少?(2)炸弹在飞行中经过的水平距离是多少?(3)炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少?解:t=5.0s,y=763m,则:1)2)3) ,2.5.5雷达观测员正在监视一越来越近的物体。
在某时刻,他得到这样的消息:(1)抛射休达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动;(2)观察者到抛射体的直线距离为l;(3)观测员观察抛体的视线与水平方向成θ角.问:(1)抛射体命中点到观察者的距离D等于多少?(2)何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才击中目标?何种情况下抛体在未到达观测员以前就命中目标?设地球表面为平面且观测员位于抛体轨迹所在的竖起平面以内.解:建坐标o-xy(如图)抛体在顶点时t=0,抛体运动方程:()AB 之间距离:D<0时,抛体过头顶命中目标;D>0时,抛体落点在观察者前方;2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶,在我们所讨论的时间范围内,其运动学方程为(长度:m,时间:s).t=0时,列车在图中O点.此圆弧形轨道的半径r=1500米,求列车驶过O点以后前进至1200米处的速率及加速度.解:建坐标系如图,自然坐标系。
由s=1200m时(略)40m/s则(a与v的夹角)2.6.2 火车以200km/h的速度驶入圆弧轨道,其半径300m,司机一进入圆弧轨道立即减速,减速度为2g,求火车在何处加速度最大?为多少?解:由火车在进入圆弧轨道时加速度最大,2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动,当斗车到达图中所示位置时,轨道曲率半径为150米,斗车速率为50km/h,切向加速度,求斗车的加速度.解:方向:与切向夹角与水平夹角2.8.1飞机在某高度的水平面上飞行,机身的方向是自东北向西南,与正西夹15度的角,风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来,与正南夹45度角,结果飞机向正西方向运动,求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度.解:269.2km/h方向正南偏西750193.2km/h方向正西2.8.2飞机在静止空气中的飞行速率是235km/h它朝正北的方向飞行,使整个飞行时间内都保持一条南北向公路的上空.地面观察者利用通讯设备告诉驾驶员正在刮着速率等于70km/h的风,但飞机仍能以235km/h的速率沿公路方向飞行.(1).风的方向是怎样的?(2).飞机的头部指向哪个方向?也就是说,飞机的轴线和公路成怎样的角度?解:235km/h ,235km/h ,70km/h,风指向西北,北偏西81.4度,飞机的轴线和公路成17.2度角指向东北;如果风向东北,会是北偏东81.4度,飞机的轴线和公路成17.2度角指向西北。
2.8.3一辆卡车在平直路面上以恒速度30m/s行驶,在此车上射出一个抛体,要求在车前进60m时,抛体仍落回到车上原抛出点,问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向。
空气阻力不计.解:以地面为静系,卡车为动系,抛出体在t时间后仍能落到车上。
卡车对地运动:抛体对卡车为竖直上抛运动:则车前进60m的时间:t = 60/30 =2s经2s抛体落回车上原抛点,竖直向上。
2.8.4河的两岸互相平行,一船由A点朝与岸垂直的方向匀速驶去,经10min到达对岸C点,若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B点,需要12.5min,已知BC=120m,求:(1)河宽l; (2)第二次渡河时船的速度u;(3)水流的速度v。
解:选船为运动质点,地面为基本参考系,水为运动参考系由伽利略速度变换:两次渡河船的矢量关系如图1),2) 由1),则=120/600 m/s = 0.2 m/s由2)则 L = 200 m, || = 1/3 m/s.由2.8.5圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图.某瞬时汽车甲向东以20km/h 的速率行驶;汽车乙在θ=30度的位置向东北方向以速率20km/h 行驶.求此瞬时甲车相对乙车的速度.解:由 其矢量关系为下图,夹角:α=60o为等边三角形20km/h方向南偏东600。