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即： 原 问 题
max Z = CX AX ≤ b X ≥0
对 偶 问 题
min W = bT Y A Y ≥C
T T
Y ≥0
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§2 原问题与对偶问题
对于一般的线性规划问题， 对于一般的线性规划问题，
max z = c1 x1 + c2 x2 + ⋯ + cn xn
→ y1 a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ≤ b1 a x + a x + ⋯ + a x ≤ b → y2 2n n 2 21 1 22 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a x + a x + ⋯ + a x ≤ b → ym m1 1 m2 2 mn n m x1 , x2 , ⋯, xn ≥ 0
用矩阵将上述原问题对偶问题写出
min W = 12 y1 + 16 y2 + 15 y3
s.t
{
2 y1 + 4 y2 ≥2 + 5 y3 ≥ 3 2 y1
y1 , y2 > 0
x1 max Z = CX = ( 2,3) x 2 12 2 2 x1 AX = 4 0 ≤ 16 = b x 0 5 2 15 X ≥0
≤−7 − 4 y1 + 3 y2 − 2 y − 6 y + 5 y = 4 1 2 3 6 y1 − 4 y2 + 3x3 ≤ −3 y1 , y2 ≥ 0, x3无约束
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x1 x2 x3
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小结：对偶问题与原问题的关系： 小结：对偶问题与原问题的关系： 目标函数： 目标函数：MAX 原 问 题 约束条件： 个约束 约束条件：m个约束 对 偶 问 题 目标函数： 目标函数：MIN 变量 ： m个变量 个变量
乙方租借设备： 乙方租借设备： 租借设备
甲方以何种价格将设备A、 、 甲方以何种价格将设备 、B、 C租借给乙方比较合理？ 请为 租借给乙方比较合理？ 租借给乙方比较合理 其定价。 其定价。
Ⅰ，Ⅱ各生产多少, 可获最大利润 各生产多少 可获最大利润? 假设A、 、 的单位租金 解： 假设 、B、C的单位租金 分别为
且两者最优目标函数值相等， 且两者最优目标函数值相等，即 证明 设有线性规划问题
m z =m w ax in
。
max Z = CX ; AX + X s = b; X , X s ≥ 0
经单纯形法计算后， 经单纯形法计算后，令Y
基可行解
= C B B −1 > 0， 最终表中
非基变量
基变量
b′ σj →
如何写出非规范的原问题相应的对偶问题： 如何写出非规范的原问题相应的对偶问题： 1. 2. 3. 4. 目标函数MIN 目标函数 约束条件 ≥ 约束条件 = 变量 MAX
≤
?
≤0
或 无约束
?
例：P55 例2，写出下面规划的对偶规划 ，
min z = 7 x1 + 4 x2 − 3x3 − 4 x1 + 2 x2 − 6 x3 ≤ 24 − 3 x − 6 x − 4 x ≥ 15 1 2 3 5 x2 + 3 x3 = 30 x1 ≤ 0, x2无约束，x3 ≥ 0
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
第二章 线性规划的对偶理论
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第二章 线性规划的对偶理论 ( Dual Linear Programming, DLP)
原问题与对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析 参数线性规划
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§1 对偶问题的提出
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类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对应一个“ 对偶变量” 类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对应一个“ 对偶变量”，它就 相当于给各资源的单位定价。于是我们有如下的对偶规划： 对偶规划 相当于给各资源的单位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W = b1 y1 + b2 y2 + ⋯ + bm ym
（原问题）无可行解。 原问题）无可行解。
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3、最优性 、
如果
ˆ xj,
ˆ yi , i = 1,..., m, j = 1,...n
ˆ ˆ ∑c x = ∑b y
j =1 j j i =1 i n m i
分
别是原问题和对偶问题的可行解， 别是原问题和对偶问题的可行解，且有
则
ˆ ˆ x j , yi , i = 1,..., m, j = 1,...n 分别是原问题和对偶问题的
y1, y2 > 0
y1 , y2 > 0
于是对偶问题即为： 于是对偶问题即为：
m in ( − Z ) = − 2 x1 − 3 x 2
- 2 x1 - 2 x 2 ≥ - 12 - 4 x ≥ - 16 1 - 5 x 2 ≥ - 15 x1 , x 2 ≥ 0
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设
最优解。 最优解。 证明 和
y ∗i , i = 1,..., m, j = 1,...n x j,
∗
m
分别是原问题
n n m 对偶问题的最优解，则由弱对偶性， 对偶问题的最优解，则由弱对偶性， j =1 n j =1 m i =1
ˆ c j x j ≤ ∑ c j x ∗ j ≤ ∑ bi y ∗i ≤ ∑ bi yi ∑ ˆ
AX ≤ b
n个变量 个变量
AT Y ≥ C T
m个变量 个变量
X ≥0
Y ≥0
的原问题，由此写出其对偶问题如右方所示，那么， 这是规范形式 的原问题，由此写出其对偶问题如右方所示，那么，当原问题 不是规范形式时，应如何写出其对偶问题？ 不是规范形式时，应如何写出其对偶问题？可以先将原问题化成规范的 原问题，再写出对偶问题。 原问题，再写出对偶问题。
min W = 12 y1 + 16 y2 + 15 y3
s.t
2 y1 + 4 y2 ≥2 2 y1 + 5 y3 ≥ 3
y1 , y2 , y3 > 0
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原问题
对偶问题
max Z = 2 x 1 + 3 x 2
2 x 1 + 2 x 2 ≤ 12 4 x ≤ 16 1 5 x 2 ≤ 15 x1 , x 2 ≥ 0
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例 写出下述规划的对偶问题
解 先将该问题化为规范形式
min W = 12 y1 + 16 y2 + 15 y3
max(−W ) = −12y1 −16y2 −15y3
s.t
2 y1 + 4 y2 ≥2 + 5 y3 ≥ 3 2 y1
s.t
- 2 y1 - 4 y2 ≤ - 2 − 2 y1 − 5 y3 ≤ −3
类似的，生产产品Ⅱ的资源用于出租时，租金收入应满足： 类似的，生产产品Ⅱ的资源用于出租时，租金收入应满足：
2 y1 + 5 y3 ≥ 3
总的租金收入： 总的租金收入：
12 y1 + 16 y2 + 15 y3
而就乙方而言，希望甲方的租金收入在满足约束的条件下越小越好， 而就乙方而言，希望甲方的租金收入在满足约束的条件下越小越好， 这样双方才可能达成协议。 这样双方才可能达成协议。 的线性规划模型： 于是得到下述 的线性规划模型：
≤ (≥ ) =
变量 ： n个变量 个变量
≥0 (≤ 0) 无约束
约束条件：n个约束 约束条件： 个约束
≥0 (≤ 0) 无约束
约束条件右端项 价值系数
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≥ (≤ ) =
价值系数 约束条件右端项
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§3 对偶问题的基本性质
就上节所讨论的一般的线性规划问题及其对偶问题，有如下的性质： 就上节所讨论的一般的线性规划问题及其对偶问题，有如下的性质： 1、弱对偶性 、 如果
x j,
y i , i = 1,..., m, j = 1,...n
x j ≤ ∑ bi y i
i =1 m
分
别是原问题和对偶问题的可行解， 别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
∑c
j =1
n
j
考虑利用 2、无界性 、
cj ≤ ∑aij yi
i=1
m
及
∑a x
j=1 ij
n
j
≤ bi
代入。 代入。
如果原问题（对偶问题）有无界解， 如果原问题（对偶问题）有无界解，则其对偶问题
i =1
ˆ ˆ ∑c x = ∑b y
又
j =1 j j i =1 i
i
ˆ cj xj = ∑cj x∗ j = ∑bi y∗i = ∑bi yi ∑ ˆ
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n
，所以
n
m
m
j=1
j =1
i=1
i=1
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4、强对偶性 、
如果原问题有最优解，则其对偶问题也必有最优解， 如果原问题有最优解，则其对偶问题也必有最优解，
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对偶问题与原问题的关系： 对偶问题与原问题的关系： 目标函数： 目标函数：MAX 原 问 题 变量 ： 目标函数： 目标函数：MIN 对 偶 问 题 变量 ：
max Z = CX
约束条件： 个约束 约束条件：m个约束
min W = bT Y