《锐角三角函数》（第一课时）教学设计

一、教材分析 （一）、教材的地位与作用 本节课选自鲁教版实验教科书九年级上册第一章解直角三角形的第一节锐角三角函数（第一课时）。锐角三角函数反映了直角三角形中边角之间的关系，它在解决实际问题中起着重要的作用。相比之下，正切是生活当中应用最多的三角函数概念。通过本节课的学习使学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的联系。感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，为一般性的学习锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。 （二）、学情分析 1、从学生的年龄特征和认知特征来看 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。 2、从学生已具备的知识和技能来看 九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力。 3、从学生有待于提高的知识和技能来看 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。 （三）、教学目标 1、知识目标 （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义，并能举例说明。 （2）能运用tanA表示直角三角形中的两边之比，表示物体的倾斜度、坡度等，能利用直角三角形中的边角关系进行简单的计算。 2、能力目标 （1）经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力。 （2）体验数形之间的联系，提高学生应用数学的意识和能力。 3、情感价值目标 使学生在学习数学的过程中体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。 （四）、教学重点、难点 教学重点： 1、对正切的理解，能运用正切函数表示直角三角形中两边的比。 2、能根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。 3、对坡度的理解并能运用来解决实际问题。 教学难点：对正切函数的理解。 二、教法和学法 本节课的教法采用的是情境引导法和探究发现法。在教学过程中，通过适宜的问题情境引发新的认知冲突；建立知识间的联系。教师通过引导、指导、反馈、评价，不断激发学生对问题的好奇心，使其在积极的自主活动中主动参与概念的建构过程，并运用数学知识解决实际问题，享受数学学习带来的乐趣。 本节课的学习方法采用自主探究法与合作交流法相结合。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究的，也有小组合作交流的，旨在让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。 三、教学过程 本节课的教学过程我设计了以下六个环节： 1. 创设情境、引入新知 2.学练结合、探索新知 3、应用新知、巩固拓展 4、回顾课堂、感悟收获 感悟收获 5、达标检测、反思成长 6、课后作业、巩固发展 （一）创设情境 引入新课 1、 利用多媒体播放“设计过山车路线”的游戏. “同学们，你们坐过过山车吗？今天请同学们和老师一起重新体味一下坐过山车的感受吧!”“请大家仔细观察哪段滑道更刺激更好玩？” 2、通过截取两段过山车的滑道，提炼出以下数学问题： 下列图形中的每一个小格为正方形，三角形的三个顶点均在格点上. 问题1 比一比哪个滑道长？ 问题2 你能判断出哪个滑道陡吗？

A B

C F

E D 2.5m 5m 4.5m

B

C A

D

E

第 一 组 F 2.5m

学生能直观的发现倾斜角越大滑道越陡.还有其它方法吗？细心的同学观察出通过边来进行判断：“当高等时，底边越短滑道越陡.” 若改变高等的条件，你能利用边来判断哪个滑道更陡吗？今天我们来学习锐角三角函数（板书课题） 设计意图：通过游戏的的展示极大地调动了学生们学习的积极性，让学生体会到了数学与生活的联系，点燃了学生的求知欲.问题1旨在让学生复习勾股定理，为能正确求出锐角三角函数打下基础.问题2旨在概括出判断滑道倾斜程度的直观方法和依据，并引出本节课所要探究的问题. （二）学练结合 探究新知 探究一：比一比 比较下列各组中哪个滑道更陡，你有哪些判断方法？ (1) 底等高不等

(2)底与高都不等 2.2m F D

E

5m 2m

B

A C

4m

第 二 组

要求学生（1）学生独立思考后小组内合作探究判断方法. (2)全班交流展示探究结果. 交流展示：对学生探究的不同方法进行引导总结，为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础. 今天我们来探究滑道的倾斜程度与底和高的比之间的关系. 设计意图：（1）底等高不等的图形，本质就是高等底不等图形的旋转对称变换，目的是进一步引导学生发现倾斜程度与边之间的关系；（2）高与底都不相等的对比旨在引导学生用边与边之比进行比较，有一定难度需要学生进行合作探究. 探究二：想一想 如图，B1、B2是滑道AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，B2C2

⊥AC2，垂足为点C2，

1. Rt△AB1C1与Rt△AB2C2有什么关系？ 2、 与 有什么关系？ 3.如果改变点B2在AB1上的位置并保持B2C2⊥AC1(垂足是点C2)呢？由此你能得出什么结论？

引导学习基础较差的学生动手测量、求值来发现结论，学习基础B1 B

2

C1 A C

B C2 较好的学生进行推理证明. （板书）结论1：在Rt△ABC中,锐角A确定，则∠A的对边与∠A的邻边 的比值也确定. 这个比叫作∠A的正切，记作tanA 即 若将上图中三角形进行平移，比值会改变吗？旋转呢？结论还成立吗？ 设计意图：将图形进行变式训练旨在让学生进一步明确这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关，渗透正切函数的对应关系.也为拓展一做好铺垫. 对定义的几点说明： 1、tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切习惯上省略“∠”的符号. 2、本章我们只研究锐角∠A的正切. 3、对边、邻边是在直角三角形中相对角而言的. 练一练 想一想 问题1: 判断对错（学生口答） (1)如图 (1) （ ） (2)如图 (2) ( ) (3)如图 (2) ( ) (4)如图 (2) ( ) (5)若锐角∠A=∠B，则tanA=tanB （ ）

ACBCAtan

ABBCAtan

mA7.0tan710tanB

C (2)

A B C (1)

B

A 7m 10m

AA的对边的邻边tanA= A C

B

∠A的邻边 ∠A的对边 问题2：如图,将Rt△ABC各边扩大100倍,则tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不确定 问题3：如上图，你会表示tanB吗？（学生板演） (1)AC=3,AB=6, 求tanB (2)BC=3,tanA=0.6,求AC. （3）若BC=2AB,求tanB 问题4：如图，平面直角坐标系中点P（3，- 4），OP与x轴的夹角为∠1，求tan∠1的值. 说明：1、学生板演，借机指出学生出现的错误并提问tanA能为负吗？ 2、对两种构造直角三角形的方法进行肯定，体会数形结合的方法. 小组交流 1.tanA是在什么三角形中定义的？若所给图形不符合要求可以怎样解决？ 2.求tanA还需要注意哪些问题？ 师生共同完善交流结果. 设计意图：通过以上练习让学生总结出1、注意数形结合，构造直角三角形.2、 tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）3、 当∠A确定时，正切值也确定. 探究三:议一议

B A

C

O P（3,- 4） 1

y

x 1、若锐角A改变，则tanA会怎样变化 ？ 2、滑道的倾斜程度与tanA有怎样的关系？ （板书）结论2：tanA值越大，滑道越陡. 练一练：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?

设计意图：旨在让学生进一步体会锐角A改变，则tanA也随着改变.所以我们把tanA叫做锐角A的一个三角函数.体会正切的函数思想. 探究四：辨一辨 你知道坡度在数学中怎样表示吗？（请到课本P4找找答案.） 1、自主学习坡度、坡角的概念 2、全班交流坡度与坡角的关系. 练一练：如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m). 设计意图：通过创设恰当的问题情境，促进学生自觉地认识正切函数在现实中的应用，把知识和经验系统化、数学化. （三）应用新知 巩固拓展

β 乙 13m 5m 6m

8m α

甲

A C B D

B A C

┌