1.12
或写为：
1.13
其中
1.14
式（1.13）是一个关于 三次方程，泊松比 值给定时，就可以求出 的值。而 是瑞利波相速度 与横波速度 之比，显然均匀弹性半空间中的瑞利波速度只与介质的横波速度 和泊松比 有关，而与频率无关（无频散）。
将式（1.9）代入式（1.1）可得由瑞利波传播引起的质点位移（ 和 ）为：
3.1
其中， 为目标函数， 为N维向量空间， 为向量的2范数。从目标函数的形式看，该问题显然属于最小二乘法最优化问题。由于方程（3.1）中无约束控制项，所以该问题是非约束最优化问题。另一方面，从数据与参数之间的关系看，频散数据的个数M一般大于横波速度的个数N，因此该问题是一个超定问题。瑞利波勘探中，较常用的反演方法有最小二乘法及较新的遗传算法。本文主要研究最小二乘算法。
1.3
又有
1.4
由于平面瑞利波的位移发生在x-z平面内，因此由式（1.1）和式（1.4）可知，瑞利波是P波和SV波相互作用的结果。
对于一个角频率为 ，波数为 ，沿x方向传播的瑞利谐波，其势函数可表示为：
1.5
其中， 和 分别表示瑞利波胀缩分量和旋转分量的振幅随深度变化的函数；波数 ， 为瑞利波波长。
1.15
结合式（1.11），由式（1.15）得
1.16
式（1.16）还可写成
1.17
由式（1.17）可知瑞利波质点位移随深度的变化可表示为
1.18
由式（1.8）和式（1.14）可以计算出 和 的比值。
由 与波长 的关系以及式（1.14）、（1.18），我们就可以计算出在给定泊松比情况下 和 与 之间的变化关系。图2.5给出了不同泊松比情况下两种位移用自由表面处的位移（ ）归一化后随深度（ ）的变化曲线。图2.5表明瑞利波的质点位移的大小随深度的增加而迅速减小，在深度约等于1个波长时（ ），质点的位移量已非常小（大概为自由表面处位移的0.2倍）。这意味着瑞利波勘探的穿透深度大约为1个波长。
LM方法通过将Hessian矩阵作如下修正，将最速下降法和牛顿法的优点结合起来
4.19
其中， 为单位矩阵， 为一个能始终保证 为正定的非负常数。因此，LM法的搜索方向定义为：
4.20
当 足够大时， 在Hessian矩阵中占据优势，Hessian矩阵的逆变为
4.21
此时的搜索方向与最速下降法的搜索方向一致
将式（1.5）代入式（1.4）并整理得
1.6
上述二阶偏微分方程的通解为
1.7
其中
， 1.8
由于瑞利波质点位移随深度增加而迅速衰减，因此 。此时，势函数变为
1.9
又因自由表面所受应力为零，因此自由表面的边界条件可表示为：
1.10
再由式（1.1）和式（1.9），上式变为：
1.11
为了得到有效解，整理化简式（1.11）可得
2
地震面波数据反演实际上是寻找某个理论的Vs剖面，由该理论剖面通过正演计算所得的理论频散数据与野外实际观测的频散数据拟合最佳。设向量 表示一个由N个横波速度组成的Vs剖面（N层介质），由Vs剖面 通过正演计算所得的理论频散数据组成的向量记为 ，由野外实际观测所得的频散数据组成的向量记为 ，那么反问题可陈述为寻找使 与 之间的误差最小的解 ，即：
地震层析成像理论及技术-瑞雷面波
理论基础与反演成像
瑞雷面波理论基础与反演成像
瑞雷面波是1887年由英国学者瑞雷（Rayleigh）首先在理论上确定的，这种面波分布在自由表面上。当介质为均匀各向同性介质时，瑞雷面波的相速度和群速度将一致，否则瑞雷波的相速度将不一致，出现频散现象，当介质具有水平层状性质时，瑞雷面波的频散规律与介质的分层结构紧密相关。面波研究的目的是要通过面波信号得到地下介质的结构及其物理力学性质，这就需要进一步反演解释研究。
4.22
当 非常小时，Hessian矩阵的逆变为
4.23
此时的搜索方向与高斯-牛顿法的搜索方向一致：
4.24
因此，在迭代开始时（远离极小点）应将 的值设得足够大，使目标函数沿最速下降方向前进，而随着迭代次数的增加（目标函数值距极小点越来越近）应减小 值，使目标函数按高斯-牛顿法收敛。有关最速下降法和高斯-牛顿法的具体算法这里不再详述，可以参照有关文献。
1.
由于均匀弹性半空间介质的边界附近沿x方向传播的平面瑞利谐波y方向的质点位移为零。设半空间充满x-y平面，z方向向下为正，坐标原点位于介质的自由表面上，如图所示1-1
为推导方便，引入势函数 和 来分别表示x和z方向的位移（u和w），则
1.1
由位移表示的二维运动方程为
1.2
由此可见，势函数的引入将胀缩波和剪切波区分开来（ 与胀缩波对应， 与剪切波对应）。将式（1.1）代入（1.2）得
2.2
瑞雷面波的反演是建立在
（1）导入野外地震数据，定义观测系统参数；
（2）
3
4号线
共41炮。
频散曲线剖面
视横波速度
模型剖面
第5炮
第25炮
第40炮
5号线
频散曲线剖面
视横波速度剖面模型速度剖面第炮第67炮2.1
Levenberg-Marquardt最小二乘最优化方法（LM法）是从最速下降法（Steepest descentmethod）、牛顿法（Newton’s method）和高斯牛顿法（Gauss-Newton method）等方法发展而来的，兼顾了这几种方法的优点。它们都是利用目标函数及其导数来寻找目标函数的极小值，都属于最优化方法中的梯度法。