迹分支;
(2) 若把代数方程 s2 3s 2 K 0 写成如下形式, 即:
1 K 1
K
0
s2 3s 2
(s 1)(s 2)
并令: G(s)
K
则左式分母 (s 1)(s 2) 0
(s 1)(s 2)
的根为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程s2 3s 2 K 0 的两个根,
i 1
m
r
i N j (2k 1) k 0,1,2, (5)
i 1
j 1
式(4)叫根轨迹的幅值条件, 式(5)叫根轨迹的相角条件. 在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点, 即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点, 因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件. 根轨迹上某一点对应的K’的值可由幅 值条件求出.
上例中:
n 7,m 4; z1 1, z2 10, z3 7 j2, z4 7 j2
p1 0, p2 6, p3 8, p4 0.5 j, p5 0.5 j, p6 4 j3, p7 4 j3
将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上, 习惯上用叉 号标记开环极点, 用小圆圈标记开环零点, 如下图:
-2 -1.5 -1
0σ
由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根
平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是
二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画
图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例
中至少可得到根轨迹图的以下几个特点:
(1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨
j 1
j
(3)
j 1
式(3)中: s zi 是 (s zi ) 的模; s pj 是 (s pj) 的模;
是(s
i
zi
)
的幅角;
j
是(s
p
j
)
的幅角;
是
s
的幅角;
k 0,1,2 , n N r
式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程:
r
s pj
K '
j 1
m
(4)
s zi
也即两条根轨迹分支的起点. (3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上
的根轨迹关于实轴成镜向对称.
实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上 的指导. 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来.
jω
p6 z3
-10
-8
-6
z2
p3
p2
z4
3
2
p4 1
-1
0
σ
z1 p5 p1
p7
法则1 根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于 K’=0,终止于开环零点,对应于K’= +∞.
注意: 当n> m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当n<m时,有m -n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等.无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点.
个环节传递函数的乘积形式. 由于系统中各个环节一般为典型环
节, 而典型环节的传递函数一般不超过二阶, 其分子和分母的S
多项式极易因式分解, 从而开环传递函数的零极点也容易获得.
因此, 闭环系统的开环传递函数可表为:
m
m
K (Tis 1) K '(s zi )
G0 (s)
i 1 r
i 1 r
(1)
sN ( js 1) sN (s pj )
j 1
j 1
式(1)中: zi 是G0(S)的零点, i=1,2,….m pj 是G0(S)的非零极点, j=1,2,….r
s N 表示有N个数值为0的极点, 且N+ r=n, n为系统的 阶数. K叫开环系统的增益, K’叫开环系统的根轨迹增益,
K与K’的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系, 即:
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另 一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示:
jω
-2 -1.5 -1
σ 0
当K=0.25时, 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而
虚部的绝对值随K的增大而增大, 两根的变化jω轨迹如下图所示:
1. 根轨迹定义 定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化 时, 系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹. 称为系统的根轨迹.
2. 根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示:
R(S)
G1(S)
G2(S)
Y(S)
H(S)
其开环传递函数G0 (s) G1(s)G2 (s)H (s) , 开环传递函数是各
需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量.
例: 某闭环系统的开环传递函数为:
K '(s 1)(s 10)(s 7 j2)(s 7 j2) G0(s) s(s 6)(s 8)(s 0.5 j)(s 0.5 j)(s 4 j3)(s 4 j3)
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方
便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根 轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则 不予推导和证明.
m
(zi )
K K'
i 1 r
(2)
( pj )
j 1

闭环系统的特征方程为:1
G0 (s)
0,即:
G0 m
(s)
1,将式(1)代入
m
K ' (s zi )
m
j i
K '
s zi e i1
i 1 r
i 1
r
e j (2k 1)
sN (s pj ) j 1
s s p e N r
j ( N j )