i
m
∏ (s + p )
l l =1
i =1 n
=
1 K0
当K0 → ∞时,则有
∏ (s + z )
i K 0 →∞
m
lim
∏ (s + p )
l l =1
i =1 n
= lim
1 =0 K 0 →∞ K 0
m个开环极点 → m个开环有限零点 n条根轨迹分支 (n − m )个开环极点 → (n − m )个开环 无 限零点
假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
G (s )H (s ) = 1 − − − 根轨迹幅值条件
G (s )H (s ) =
2011-4-24
K (s + z1 )(s + z 2 )L (s + z m ) ,n ≥ m (s + p1 )(s + p 2 )L(s + p n )
第5章 根轨迹法 4
2011-4-24 第5章 根轨迹法 10
自动控制理论 因为n≥m，所以根轨迹分支共计为n条； 根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有：
∏ (s + p ) = 0
l l =1
n
根轨迹的始点为开环传 递函数的极点
根轨迹终点就是当
K0 → ∞
m l i =1
时根的位置；
i
1 K0
∏ (s + p ) + ∏ (s + z ) = 0
ζ = 0.707 由于 β = arccos ζ = 45o ，在图4-2上过坐标原点
作与负实轴夹角为45°和射线，它与根轨迹的 交点S= -05±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。
图4-2 系统的根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 3
自动控制理论
根轨迹的幅值条件与相角条件
特征方程：
由上式可知，凡是满足方程 G (s )H (s ) = −1 的s值，就是该方程的根，或是根轨迹上的 一个点。由于s 是复数，故有：
规则3 规则3：根轨迹在实轴上的分布
2011-4-24 第5章 根轨迹法 12
自动控制理论
图4-7 实轴上根轨迹的确定
实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点 与零点数之和的数是否为奇数。
S i 右方实轴上开环极点数
arg[G (s )H (s )] s = si = (mr + nr )π = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2,L
s(s + 4) s 2 + 4s + 20 + K 0 = 0 K 0 = − s(s + 4) s 2 + 4 s + 20 = − s 4 + 8s 3 + 36s 2 + 80s
(
(
)
dK 0 = − s 4 + 8s 3 + 36s 2 ds 解之得s1 = −2, s 2,3 = −2 ± j 2.45
自动控制理论
− − 式中K > 0; z1 ,− z 2 L − z m为开环零点,在s平面用“o”表示, p1 ,− p2 L − pn 为开环极点,在s平面用“x”表示。
令s + zi = pi e jφi , i = 1,2,L m s + pl = rl e
则上式改写为：
jφ l
, l = 1,2,L n
自动控制理论
图4-6 用试探法确定根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 8
自动控制理论
第二节
G (s )H (s ) = 或 G (s )H (s ) = K
0 n
根轨迹的基本规则
K
开环传递函数有如下两种表示：
∏ (τ
i =1 n l =1 l
m
i
s + 1)
∏ (T
m
s + 1)
,n ≥ m
2011-4-24 第5章 根轨迹法
图4-11 根轨迹的复数分离点
17
自动控制理论 例4-3 求图4-8所示系统的分离点 求图4 解：特征方程
s(s + 1)(s + 2 ) + K = 0 K = − s 3 + 3s 2 + 2 s dK = − 3s 2 + 6 s + 2 = 0, ds s1 = −0.423, s 2 = −1.577(不含稳定 ) K0 G (s )H (s ) = 例4-4 已知 s (s + 4 ) s 2 + 4 s + 20 图4-12 求根的分离点 解： 1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2±j4
K0
=
1 + W (s ) = 0,有(n − m )条根轨迹分支,它们是由实轴上s = − A点出发的射线, σ 且与实轴的夹角
s n−m
θ=
± (2k + 1)π , k = 0,1,2, L n−m
n m l =1 i =1
若令(n − m )σ A = ∏ pl − ∏ z i
则：
σA =
∏ p −∏ z
l =1
n
当K 0 → ∞时,则有
∏ (s + z ) = 0
i i =1
m
由此式可知, 支的终点
开环传递函数的零点
− z i (i = 1,2, L ,m )是m条根轨迹分
当n＞m时,余下(n − m )条根轨迹分支的终点位置需确定
2011-4-24 第5章 根轨迹法 11
自动控制理论
∏ (s + z )
(
) ( + 80s ) = 0
)
规则6：出射角与入射角 规则6 根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向 的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环复数 零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角
图4-13 根轨迹出射角的确定
设一系统的开环零, 极点的图如4 - 13所示,令试验点清s i十分靠近 开环复数极点 − p 4 .如果s i在根轨迹上, 则有 :
2011-4-24
n−m
K0
m n + ∏ pl − ∏ z i s n − m −1 + L i =1 l =1
第5章
根轨迹法
14
自动控制理论
当s → ∞时,
令某系统的开环传递函数为W (s ) =
(s + σ A )n − m
K0 + (n − m )σ A s n −m −1 + L
(
(
) )
(
)
例4-4的根轨迹
2） 渐近线与正实轴的夹角
θ=
(2k + 1)π
4 4 4 4 渐近线与实轴的交点为 -σ A =
=
π 3π 5π
, ,
,
7π , k = 0,1,2,3 4
2011-4-24
−4−2−2 = −2 4 第5章 根轨迹法
18
自动控制理论 3） 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹 实轴上的0 4） 求分离点，系统的特征方程为
l =1 l
n
m
n−m
i =1
i
2011-4-24
第5章
根轨迹法
15
自动控制理论 例4-2 绘制图4 绘制图4-8所示系统的根轨迹
解：1） 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2） 2） 三条根轨迹分支的终点均在无限远 3） 渐近线与正实轴的夹角
θ=
3 3 3 渐近线与实轴的交点为
1 + G (s )H(s ) = 0
G (s )H (s ) e j{arg[G ( s )H ( s )]} = 1e ± j (2 k +1)π , k = 0,1,2,L
于是得：
图4-3 控制系统的框图
arg[G (s )H (s )] = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2, L 根轨迹相角条件
第5章 根轨迹法 5
自动控制理论 设一控制系统的框图如图4-4所示，由根轨迹 的幅值条件得：
即
4K =1 s+3 4 1 = s+3 K
图4-4 一阶系统
（4-10）
令 s = σ + jω , 则式(4 − 10)可化为
(σ + 3) 2 + ω 2 = (4 K ) 2
（4-11）
式（4-11）表明，系统的等增益轨迹是一簇 同心圆，如图4-5所示。
j
G (s )H (s ) = K
于是得：
∏ρ ∏r
l =1 i n l
m
i
e
∑ ∑ e
ϕi −
i =1 l =1
m
n

G (s )H (s ) = K
∏ρ ∏r
l =1 i =1 n l
m
i
∑ ϕ −∑ ϕ
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i =1 i l =1
m
n
l
= ±(2k + 1)π , k = 0,1,2,L
求解根轨迹的分离点和会合点
图4-10 根轨迹的分离点和会合点
令
G (s )H (s ) =
KB (s ) A(s )
方程出现重根的条件是 S 必须同时满足下列方程 D (s ) = A(s ) + KB (s ) = 0 D ′(s ) = A ′(s ) + K B ′(s ) = 0 由上述两式导出确定分 离点和会合点的方程 A(s )B ′(s ) − A ′(s )B (s ) = 0 dK =0 或 ds