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k = 0 , ± 1, ± 2 L
模条件 角条件
5
将根轨迹方程写成零迹、增极益点表示的矢量方程为：
开环增益
m
∏ (τi s 1)
m
(s z i)
G(s) H (s) = K i =1 n
= K * i =1 n
(T js 1)
(s p j )
j =1
j =1
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基于根轨迹的分离点或汇合点实质上都是特征方程式的 重根。设
G(s) H (s) = K N (s) = 1 D(s)
闭环系统特征方程： F ( s ) = D ( s )＋ K * N （ s）＝ 0
F ( s ) = D ( s )＋ K * N （ s）＝ 0 F ( s ) = D ( s )＋ K * N （ s）＝ 0
闭系环即特可征以方画程出的下阶半数s 平n,也面就的是根分轨支迹数部与分 闭环极点的
n
m
*
j =1
i =1
数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零
点)。
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证明：
n
m
(s p j) K * (s z ) =i 0
j =1
i =1
根轨迹的起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹点
s n m（1 an－1 bm 1 ）= K * e j ( 2 k 1)π s
k = 0,1,2,L, n m 1
两侧开(n-m)次方
s（1 a n－1
bm
1
1）n
1 j ( 2 k 1)
m= K * n me n m
s
（1 a n－1
bm
1
1）n
m= 1＋
1
an－1
bm 1
1
s
nm s
2!(n
(1 m) n
！根据根轨迹在实轴上的分布，前者不属于根轨迹，故舍
去。所以后者为根轨迹的分离点。
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法则7: 根轨迹在复极点的出射角和复零点的入射角
m
n
∑ θ pk = ( 2 k 1)π + ∠ ( p k z j )
( p k p i)
j =1
n
∑ θ zk = (2k 1)π + ∠( zk
m
1)(a n－1 s
bm
1
)
2
L
当s->∞时，上式可近似为
（1 a n－1
bm
1
1 ）n
m = 1＋
1
a n－1
bm 1
s
nm s
s＋ a n－1
bm
1 j ( 2 k 1)
1= K * n me n m
nm
m
n
m
（bm 1 = an 1 =
zi
i =1 n
p j）
pj s－ j =1
n
zi
i =1
m
1 j ( 2 k 1)π
= K * n me n m
j =1
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即得渐近线的坐标与夹角。
14
规则6： 根轨迹的分离点、汇合点与分离角
定义一：两条或两条以上根轨迹分支在 s平面上（通常为 实轴）的交点称为根轨迹的 分离点或汇合点 ；
定义二：分离角定义为进入分离点的切线方向与离开分 离点切线方向之间的夹角。
第四章 根轨迹法
反馈控制系统的运动特征取决于其闭环传递函 数：极点、比例系数、零极点分布等。
1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系 统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在 关系，确定闭环特征方程特征根的一种图解方 法——根轨迹法。 将开环系统中的参数与闭环极点间的关系通过
直观的方法确定出来，便于对系统稳定和综合 性能的分析。
R(s)
解：易知闭环系统特征s 1)(s 2)
F (s) = D(s)＋K * N（s）= s(s 1)(s 2) = 0
dF ( s ) = dD ( s ) K dN ( s )
ds
ds
ds
=3s26s2=0
解方程为：
Im 2 1 0 Re
s1 = 1.577
s2 = 0.423
同理：
入射角＝∑[各开环极点指向该零点的矢量的方向角] －∑[其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角]＋反向
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法则8: 根轨迹与虚轴的交点
方法一：应用劳斯判据
当特征方程式存在有一对纯虚根时，应令劳斯表第一 列中包含K * 的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点处 的K *值。利用劳斯表中s2 行的系数构成辅助方程，必 可解出纯虚根的数值。这一数值即对应于根轨迹与虚 轴交点处的 值。
β1 − (α1 + α 2 + α 3 ) = (2k 1)π
β1 z1
L2 α1
σ P1
此点处的开环根轨迹增益
L4
K * = s1 s1 p2 s1 p3 = L2 L3 L4
s z1
L1
α3 P3
幅值条件和相角条件图示
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例 利用相角条件绘制图4-1所示系统的根轨迹。系统的 开环传递函数仍为
n
(s p j ) = 0
j =1
根轨迹的终点则是指根轨迹增益K*
s = p j , j = 1,2L n
∞的根轨迹点。
1n
m
* (s p j ) (s zi ) = 0
K j =1
i =1
令
s= 1 q
11
1
1
1
K * ( q p1 )( q p2 )L( pqn ) ( zq1 )(
等式两端同时乘以qn，可得
m
( zi ) K = K * i =1
n
( pj)
j =1
m
K* ( s
j =1
n
zj ) = 1 = e j ( 2 k 1)π (k = 0, ± 1, ± 2, L)
( s pi)
i =1
模值方程和相角方程分别为：
m
K* | s
j =1
n
n
zj|
|s
*
=i 1
=1,K = m
pi | m
系统的闭环传递函数:
R（s） －
G (s) H (s)
C（s）
(s) = G(s) 1 G(s) H (s)
闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)= –1
G(s)H (s) e arg[G ( s ) H ( s )] = 1 e j ( 2 k 1)π
G(s) H (s) = 1
arg[G (s) H ( s)] = (2k 1)
i =1
i =1 i k
m
pi )
j =1
( zk z j )
θ3
jω
S1 P34
设S1在根轨迹上，则
j k P2
θ2
φ1
z1
θ1
P1 0
σ
φ1－（θ1＋θ 2＋θ 3＋θ 4）＝± (2k 1)π
θ4
3＝ 1－（ 1＋ 2＋ 4）m (2k 1) P4
出射角＝∑[各开环零点指向该极点的矢量的方向角] －∑[其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角]＋反向
根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到∞，闭环特征根在s平面上 移动的轨迹。
（1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复 平面的左半平面。
（2）当0<K<0.25时，二阶系统的两个特征根为位于左半面的两个
，
实根，系统处于过阻尼状态。当K>0.25时，两个特征根为位
于左半面的一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。当K=0.25
n
m
p
z
σ = j =1
i =1
nm
ϕ= j
i
k
=
0,1,2(,2L,kn
1)π
m
1
nm
m
(s
* i =1 n
(s
j =1
zi) G(*s) Hs m(s) =bmK1 s m 1 L b1 s=Kb0
p j)
s n an 1 s n 1 L a1 s a0
m
（bm 1 =
zi
i =1
n
an 1 =
p j）
j =1
同除分子 G(s) H (s) =
K*
nm
s (an－1 bm 1 )s n
s
= m 1＋L
sn
K* m (an－1 bm 1 )s n
m1
由根轨迹方程
s n m (a n－1 bm 1 )s n m 1＝－K *
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s n m（1 an－1 bm 1 ）= K * s
G(s)H(s)= K s ( s 1)
• 确定实轴上的根轨迹
正实轴 实轴上原点与-1点之间 -1点左边
• 在实轴外任取一点 s1位于（-1， 0）的垂直平分线
• 用模条件确定系数K的值
根轨迹上点 ( 0.5 j 0) 所对应的 K 值 K = 0.5 0.5 1 = 0.25 根轨迹上点 ( 0.5 ± j 0.5)
当需要确定根轨迹上各点的K*值时，才使用幅 值条件。
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例：系统的开环传递函数为