Π定理
Π定理
若某一物理过程包含有n个物理量，可表示为
f x1，x2， ，xn 0
其中有m个基本物理量，则该物理过程可由n个物 理量所构成的n-m个无量纲组合量的关系式来描述
F 1， 2， ， nm 0
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Π定理
Π定理的运用步骤
（1）确定与所研究的物理现象有关的n个物理量 （2）从n个物理量中选取m个独立的基本物理量
与空间坐标中是随机变化的。
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湍流的定义及其发展历史
目前广泛认同的湍流定义
湍流由各种不同尺度的涡旋叠加而成， 其中最大涡尺度与流动环境密切相关，最小涡 尺度由粘性确定；流体在运动过程中，涡旋不 断破碎、合并，流体质点轨迹不断变化；在某 些情况下，流场做完全随机的运动，在另一些 情况下，流场随机运动和拟序运动并存。
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模型试验
按雷诺准则设计
V l 1
V
1 l
Q V l2 l
t l V 12l
a V
t
2
3 l
F ma 3l a 2
p F 2l 2l2
9-12
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模型试验
按弗劳德准则设计
V2 1 g l
V 1l 2
Q V 2l 5l 2
9-28
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湍流的涡体特征尺度
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关联函数
二阶速度关联
Rij uiuj
三阶速度关联
Sijk uiujuk
9-27
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湍流的涡体特征尺度
大尺度涡体：
长度尺度：流场宽度
小尺度涡体： Kolmogorov
长度尺度 ( 3 / )1/ 4
时间尺度 速度尺度
( / )1/ 2 v / 1 v ( )1/ 4
无量纲量的数值大小与采用的单位制无关 无量纲量可以进行超越函数的计算
9-4
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量纲和谐原理
凡是正确反映客观规律的物理方程， 其各项的量纲都必须是一致的，即只有方 程两边量纲相同，方程才能成立。这称为 量纲和谐原理。
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
1v22
2g
hw
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研究湍流的意义
❖ 物理学乃至自然科学中重要问题之一 ❖ 自然界的流动绝大多数都是湍流 ❖ 流动过程中的传热和传质 ❖ 环境污染的扩散 ❖ 叶轮机械、化学反应器中的流体运动 ❖ 航空、航天、海洋、水利、土木
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湍流的定义及其发展历史
Reynolds 摇摆流 Sinuous motion Kelvin 湍流 Turbulence
流体动力学理论基础
湍流理论基础
哈尔滨工业大学航天学院 2014年3月
量纲和单位
7个基本量
长度 m（米） L
质量 kg（千克） M
时间 s（秒） T 温度 K（开尔文） Θ
电流 A（安培） I 光强 Cd（坎德拉）J
物质的量 mol（摩尔）N
2个辅助基本量
平面角 rad（弧度） 立体角 Sr（球面度）
2
x5 x x x a2 b2 c2
1 23
n3
xn x x x a1 b1 c1
1 23
（4）写出各 π 项的量纲表达式
1
x4
x x x a1
b1
c1
1
2
3
n3
xn
x x x an3 1
bn 3 2
cn 3 3
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Π定理
（5）根据量纲和谐原理求出各 π 项的指数 （6）将指数代入写出描述该物理过程的关系式，
或将某一 π 项表达与其它 π 项的关系式
F 1， 2， ， nm 0 4 F 1， 2， ， nm
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力学相似
力学相似 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件的相似
9-10
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相似准则
主要相似准则 雷诺准则： 粘滞力作用为主 弗劳德准则：重力作用为主 欧拉准则： 流体动压力为主 韦伯准则： 表面张力为主 柯西准则： 弹性力为主
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湍流的定义及其发展历史
湍流研究的不同阶段
动量和涡量输运理论（半经验理论） 均匀湍流的统计理论 湍流模式理论 大涡拟序结构
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湍流的特征量
湍流速度和湍流压强 湍流强度 关联函数 湍速度和湍流压强
t l V 1l 2
a V
t
1 2 l
/ 1l 2
1
F ma 3l a 3
p F l2 l
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主要内容
湍流及其发展概述 湍流的基本方程 湍流的数值模拟方法
9-14
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湍流及其发展概述
研究湍流的意义 湍流的定义及其发展
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湍流速度
湍流压强
ui ui ui
p p p
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湍流强度
湍流强度
1 (u2 v2 w2 ) I 3
u
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关联函数
关联函数： 几个不同时间-空间点上若干个脉动
量乘积的时均值。
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关联函数
一阶速度关联
Pi pui
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9-17
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湍流的定义及其发展历史
Taylor ＆ Von Kármán 1937 湍流是一种不规则运动，是流体流过
固体壁面，或者甚至是相邻的同类流体互 相流过或绕过时，一般会在流体中出现这 种不规则运动。
9-18
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湍流的定义及其发展历史
Hinze 补充 湍流的速度、压强、温度等量在时间
9-2
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量纲和单位
力学中的量纲公式
x LT M
几何学量纲 0 0 0 运动学量纲 0 0 0 动力学量纲 0 0 0
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无量纲量
无量纲量（纯数） Dimensionless
量纲可以简化为1的物理量，如雷诺数。
x L0T0M0 1
x1 L1T1 M1 量纲独立条件 1 1 1
x2 L2 T2 M 2
2 2 2 0
x3 L3T3 M 3
3 3 3
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Π定理
（3）将 m 个基本物理量依次与其它（n-m）个非 基本量组合成（n-m）个无量纲 π 项
1
x4 x x x a1 b1 c1
1 23